グループ分けの問題

「5人をA,B,Cという3つのグループに分けるときのブループ分けの総数を求めよ。ただし、どのグループも少なくとも1人は入るものとする。」
という問題ですが、力技ではなく数学的に解く考え方を教えて頂けないでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： i7010_man 回答日時： 2009/03/15 01:03

まず、5人それぞれにABCどのグループに入りたいのか聞いていきます。

　1人につき3通りの選び方があるので、
全部で3×3×3×3×3　通りあります。・・・(1)
　しかし、これでは全員がAに入る、といったような偏りが生まれてしまいます。そこで、ここから空きグループが出る場合を引いていきます。
　＜2グループに集中する場合＞
　仮にABの２グループに集中してしまったとすると、
　ABのどちらに入るかを聞いていけば良いので、
　2×2×2×2×2通り。
しかし、この場合にもAのみに集中・Bのみに集中するといった偏りが
生まれます。
　よって、ABの２グループに集中する場合は、32-2通り。
これがAB・BC・CAの３パターンあるので、
　２グループに集中する総数は、
3×（32-2）　通りになります。・・・(2)

　＜１グループに集中する場合＞
　これは全員Aに入る、Bに入る、Cに入るの3通り。・・・(3)

よって求める場合の数は、
　(1)－(2)－(3)＝243－90－3＝150通り　　になります。