No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。
無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、無限範囲なのかも明記する
などして質問を投げないと希望するような回答は得られませんよ。
特に、特異なケースも含めた一般論の回答は特に難しいですから(現在も解決していない特異なケースも含まれる可能性もあるので)。
また、どの程度(高校レベル、大学レベル、それ以上の大学院や専門家レベル)での回答を求められているか、回答者には分かりませんし、
質問者に理解できないレベルの回答をしても意味がないですから。
有限と無限の間には、簡単に有限で成り立つ法則が必ずしも、無限では成り立たない(適用できない)ケースがしばしば現れますから。。。
又回答ありがとうございます!
数学については本当に無知な点が多いので、漠然とした質問をしていまいました;;
私の知りたかったのは多分無限項和の方です。
一応大学レベルの問題について質問したんですが、基礎的なことがまず分かってないので高校レベルかもしれません。。
私があった問題では、微分方程式の解の存在を証明するにあたって、
∫とlimの入れ替えがあったのですが、
例えば
∫(0,1) lim(n->∞) 2nxe^(-nx^2) dx=0 0<=x<=1
lim (n->∞) ∫(0.1) 2nxe^(-nx^2) dx=1
というように、入れ替えが出来ない場合があって、
どういうときにその入れ替えが可能なのかというのが知りたかったんです。
No.2
- 回答日時:
>のようにΣと∫が入れ替えて使っているのを見たことがあります。
Σが有限和ならばいつでも自由に交換可能です.
Σが無限和ならばいつでも交換できるとは限りませんが,
たとえばΣがベキ級数ならば交換できます.
もっと厳密な表記は微積分の教科書を見てください.
応用的にはたいていはベキ級数なのでうまくいくというわけです.
>同じようにlimと∫が入れ替えて使える時と言うのはどういうときなんでしょうか?
こちらは簡単ではありません.
もちろん自明なケースはありますが,一般には
とてもややこしい十分条件があり,
それをきれいに書こうと思えば,
リーマン積分の範疇では難しいです.
ルベークの優収束定理とかを参照してください.
回答ありがとうございます!
Σが有限和なら交換可能とは知りませんでした。
数学に乏しいんで、ベキ級数というもの自体よく理解していないんですが、
まだ微分方程式を習い始めたばっかりなんで、もしかしたら習うかもしれません。
limと∫は難しいんですか。。
授業でさらっと10分くらいで終わらしてしまったので全く理解できませんでした。。
リーマン積分もよく知りませんが、今度見てみたいと思います。
ありがとうございます!
No.1
- 回答日時:
積分∫は元々Σの和の極限の式から導出されていますので、Σの性質を持っています。
したがって、Σや∫の変数をそれらの記号を超えてΣや分∫記号の左側に移動しない限り順序を交換できると言うことですね。
交換が可能かは、積分の元のΣの規則(性質)を満たす範囲で交換できますね。
limと∫についてもそれぞれの記号のもつ演算の規則(記号が使っている変数は記号を超えて左側に移動できないということ)を満たしている限り、記号の順序を入れ替えることが可能ということですね。
厳密なことは専門家に任せるとして、通常の数学の問題を解く上では、上のような変数を積分やΣやlimの外に出したりしなければ適用できるでしょう。
回答ありがとうございます!
交換は出来る場合もあるとおもうのですが、出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで質問したのですが。。
シグマの性質のようなものを調べてみたんですが、意外にそういった基礎的なものはなかなか見つかりませんでした。;;
でも、ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
誕生日にもらった意外なもの
みなさんがもらった誕生日プレゼントで面白いものがあったらぜひ教えてください!
-
フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
あなたが普段思っている「これまだ誰も言ってなかったけど共感されるだろうな」というあるあるを教えてください
-
映画のエンドロール観る派?観ない派?
映画が終わった後、すぐに席を立って帰る方もちらほら見かけます。皆さんはエンドロールの最後まで観ていきますか?
-
海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
帰国して1番食べたくなるもの、食べたくなるだろうなと思うもの、皆さんはありますか?
-
天使と悪魔選手権
悪魔がこんなささやきをしていたら、天使のあなたはなんと言って止めますか?
-
2重ΣΣのΣ記号は交換可能でしょうか?
数学
-
いんてしぐま
数学
-
Π←これは一体?
数学
-
-
4
1/∞=0は、なぜ?
数学
-
5
摩擦力による等速円運動
物理学
-
6
積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?
数学
-
7
フーリエ級数の問題で、f(x)は関数|x|(-π<x<π)で同期2πで
数学
-
8
1/x は0から1の範囲で積分できますか?
数学
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
Π←これは一体?
-
a1=1,an+1=an+3n-1 この条...
-
シグマの記号の読み方
-
Σの添え字について
-
近似曲線の数式を手計算で出し...
-
Σ(・ω・ノ)ノ の顔文字の意味
-
Σk(k+1) k=1 式を教えて下さい ...
-
f(z)=1/z^2-1 =1/(z+1)(z-1) =1...
-
三乗の公式
-
二重和(ΣΣ)の計算方法について
-
lim(n→∞)∫(0→nπ)|sin(nx)|dx...
-
床関数と格子点
-
Σの上が2n
-
Σの計算
-
数列
-
フーリエ級数展開式より実効値...
-
区分求積法の次の問題が分かり...
-
理系数学プラチカの45(2)のまた...
-
Σの下にくるk=1のkってなに...
-
円の最小二乗法の公式
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報