赤△赤○の問題の解説お願いします。

赤△赤○の問題の解説お願いします。[１]は出来なくもなさそうなのですが、解けませんでした。
[２]は初めて見るタイプの問題で(１)の時点でどこから手を出したらよいのか分からず手詰まりです。（最初は一次の連立漸化式かなとも思ったのですが…）
途中式付きの解答をお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/03/24 11:54

[2]に関しては、問題文に従って導出するだけです。

(1)
「p_n = 3x_n - 5y_nと定める」とあるので、
何とかして3x_n - 5y_nを作り、それをp_nと置けば良いです。
今回は

x_(n+1) = 16x_n - 30y_n - 15
y_(n+1) = 9x_n - 17y_n - 9

という式が与えられているので、3x_(n+1) - 5y_(n+1)（すなわちp_(n+1)）なら
簡単に作れそうですよね？

(2)
(1)と同様で、

x_(n+1) = 16x_n - 30y_n - 15
y_(n+1) = 9x_n - 17y_n - 9

を使ってx_(n+1) - 2y_(n+1) + α（つまりq_(n+1)）を
計算してみてください。
その後は「等比数列の漸化式をどうすれば作れるか」を考えれば良いです。

(3)
(1)と(2)ができればすぐ求められます。

p_n = 3x_n - 5y_n
q_n = x_n - 2y_n + α

なので、ここから邪魔なy_nを消すようにすれば良いんです。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/03/24 12:01

書き込みミス。

（誤）対称性を考えるなら、β/α＝mとして、（β/α）＋（α/β）＝m＋（1/m）を考えても良い。

（正）対称性を考えるなら、α/β＝mとして、（β/α）＋（α/β）＝1/m＋（m）を考えても良い。但し、1＜｜m｜＜4。

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/03/24 11:49

時間がないから、(1)の方針だけね、

(2)　f（x）＝x＾2＋kx＋1＝0とすると、判別式≧0、　f（3）＞0、　f（1/3）＞0、-1/3＜-k/2＜3　（＝軸）

(3)条件から、αβ＝1、4｜β｜＞｜α｜＞｜β｜をαβ平面に図示して、α＋β＝-k、から　直線：β＝-α-kのβ切片　-kの値の範囲を求める。

(3)については、色んな方法が考えられる。
対称性を考えるなら、β/α＝mとして、（β/α）＋（α/β）＝m＋（1/m）を考えても良い。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/03/24 11:44

[1] はたぶん解と係数の関係からゴリゴリ持っていくだけ.

[2] の方も, (1) は「問題文に書かれていること」をそのままやれば OK. (2) は xn - 2yn を計算すればわかる. で, (1), (2) ができれば (3) は連立方程式で終わり.