軸対称の力のつりあい式について

はじめまして。

現在応力の勉強をしております。
微小要素における力のつりあい式というのがよく書籍などにのっております。
この式のｘｙｚの座標におけるつりあい式はわかるのですが、軸対称問題における力のつりあい式がなぜそうなるのかがよくわかりません。

どなたかおわかりになる方、いらっしゃいましたらわかりやすい解説のほどよろしく御願いいたします。
色々な書籍を見てみましたが、軸対称問題の場合、式のみ掲載されていて、どうしてこのような式になるかがいつも割愛されています。

よろしく御願い致します。

No.1 回答者： my3027 回答日時： 2009/04/28 17:15

円筒座標(極座標）表示のつりあい方程式です。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

円筒座標(極座標）表示のつりあい方程式だということは私も理解しているのですが、どうしてこのような式になるのか、その導き方がよくわかりません。
より詳細な内容をいただけたらありがたいです。

お礼日時：2009/04/28 18:51

No.2 回答者： h191224 回答日時： 2009/05/05 14:30

厳密さはさておき、直角座標系での釣り合いがわかっていらっしゃるとのことですので、少々イメージ的になりますが、次のように説明してみましょう。

（図の貼り付けが成功するかどうかがわからないので、くどくなりますが、文章でも説明します。）

円柱の内部で、次の微小部分を考えます。
ｒ＝ｒ1～ｒ2（増分値ｄｒ）
θ＝θ1～θ2（増分値ｄθ）
ｚ＝ｚ1～ｚ2（増分値ｄｚ）

次に、この部分でのｒ方向の応力の釣り合いを考えます。
そのために、次のような諸量を定義します。
ｒ＝ｒ1で、σr＝σr1、τrz＝τrz1、弧長＝ｄs1（＝ｒ1*dθ）
ｒ＝ｒ2で、σr＝σr2、τrz＝τrz2、弧長＝ｄs2（＝ｒ2*dθ）
ｒ＝ｒ1～ｒ2での周方向垂直応力＝σθ（両端での値の相違を考慮しても意味なし）

ｒ＝ｒ1でのｒ方向の合力ｆ1を考えると、体積力がなければ、
ｆ1＝σr1*ｄs1*ｄz ＋ τrz1*ｄs1*ｄr

ｒ＝ｒ2でのｒ方向の合力ｆ2を考えると、
ｆ2＝σr2*ｄs2*ｄz ＋ τrz2*ｄs2*ｄr － σθ*ｄr*ｄθ*ｄz
ｆ2での第３項は、扇形のθ＝一定の辺が、傾斜していることにより生じる力です。（直角座標系では生じません。）

両者を等値すると、
σr1*ｒ1*ｄθ*ｄz ＋ τrz1*ｒ1*ｄθ*ｄr
＝σr2*ｒ2*ｄθ*ｄz ＋ τrz2*ｒ2*ｄθ*ｄr － σθ*ｄr*ｄθ*ｄz
⇒(σr2*ｒ2-σr1*ｒ1)ｄz ＋ (τrz2*ｒ2-τrz1*ｒ1)ｄr － σθ*ｄr*ｄz　＝　０

σr2*ｒ2-σr1*ｒ1⇒Δ(ｒσr)などと書くと、
⇒Δ(ｒσr)ｄz＋Δ(ｒτrz)ｄr－σθ*ｄrｄz＝０

ｄrｄzで割ると、
⇒Δ(ｒσr)/ｄr＋Δ(ｒτrz)/ｄz－σθ＝０

これを微分形で表示すると、
∂(ｒσr)/∂r＋∂(ｒτrz)/∂z－σθ＝０

これとあなたの画像の第１式（ｒ方向）とは等価です。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。お礼が遅くなり、申し訳ありません。

上記内容で、また疑問が起きております。
直角座標系では、微小部分の各面にかかっている力（四角柱の各面）のｘ方向、ｙ方向、ｚ方向の力のつりあいによって式を導きだすのですが、上記内容ですと、周方向の面が考慮されていないように思います。また、ｚ軸に垂直な面にかかる力は、τzr1とτzr2とわかれて表示されております。

この部分が直角座標系と異なる考え方なのでしょうか？
また、ｆ2での第３項部分の力が出てくる理由をお教えいただけましたらありがたいです。

御忙しい中お手数おかけしますが、ご返答よろしく御願い致します。

お礼日時：2009/05/11 18:57

No.3 回答者： px1949 回答日時： 2009/06/07 19:20

前回の回答者h191224さんからのお答えがないので、横レスでごめんなさい。

> 周方向の面が考慮されていない
自ら軸対称と書かれているので、当たり前ですね。
「軸対象＝周方向には変化がない」ということですから、考慮する必要はありません。
最初から単に円筒座標系での釣り合い、と書かれていたら、h191224さんもその面に関する成分を書かれていたことと思います。

> ｚ軸に垂直な面にかかる力は、τzr1とτzr2とわかれて表示
ｚ軸に垂直な面、というよりは、ｒ＝ｒ1の面と、ｒ＝r2の面に作用する力を考えているので、垂直応力の方もσr1、σr2ととわかれて表示されていますね？
わかれていること自体は、直角座標系に
おいても同じことなので、何ら不思議はないと思いますが？
蛇足かも知れませんが、σr2やτzr2は、厳密には
σr2＝σr1＋∂σr/∂r・dr
τzr2＝τzr1＋∂τzr/∂r・dr
などと記述されるべきものです。

> ｆ2での第３項部分の力が出てくる理由
これは、h191224さんも「扇形のθ＝一定の辺が、傾斜していることにより生じる力」と明記されていますね。
直角座標系は、非常に素直な座標系で、「座標軸に垂直な、わずかにズレた２つの面」が微小領域だけでなく、大局的にも平行であるのと、大局的に他の座標軸と互いに独立です。このため、座標軸に垂直な、わずかにズレた２つの面」に垂直な力は、一直線上に存在しえて、上記のような「第３項部分の力」は出てきません。
しかし、曲線座標系や斜交座標系では、ある座標軸方向の釣り合いといっても、座標軸の垂直な、わずかにズレた２つの面での力線が一直線にならない場合も多いので、必ずといってよいほど、このような「傾斜していることにより生じる力」が入り込んできます。