微分方程式とタンクの排水について

「タンクの排水」に関する問題について質問があります。

よく数学IIIの微分方程式の分野で出題されるタンクの水の排水問題が
あります。
　例：（図として添付してみました。見にくいかもしれません・・・
　　　　容器が逆三角形であるということを伝えたいです・・・）

この手の問題では必ず条件に、　dV/dt=　√h　　が与えられています。
(Ｖ＝残る水の体積　t＝排水開始からの時間　ｈ＝水深）

質問は、物理的になぜこの条件が成り立つのかです。
hが大きいほど排水が早いのは、
よくある「水を満たしたペットボトルの側面に穴を開ける」実験のように、
水深が大きいほど排水口にかかる圧力が大きいからかと思うのですが、
root はどこから出てくるのかが疑問です。

この手の問題では必ず、
「容器はy=x^2をy軸周りに回転させてできる図形で表される」とか、
添付の図の問いのように、hが小さいほど半径が小さくなるような容器
ばかりなので、そこが関係するのでしょうか・・・？
もし円柱形の容器なら、√h　でなくて　h　に比例するのでしょうか？

となると以下のURLの例（円柱容器での排水）で
V(体積)が指数関数的に表されるのはあくまで
イメージ図なのでしょうか・・・？
　例：http://www.ee.t-kougei.ac.jp/tuushin/lecture/mat …
　（コンデンサーの放電を容器の水の排水に置き換えたグラフシミュ）


水深と排水速度・体積変化、およびその際の容器の形・・・。
詳しい方よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： rukuku 回答日時： 2009/05/05 21:26

はじめまして

回答まではできませんが、アドバイスだけ。
１０年くらい前に勉強したことを思い出しながらですので、ご容赦ください。

もし、容器が円筒ならばｈの曲線はコンデンサーの放電のＶと同じようになります。
（ただし、RはIに依存しないとした場合です。）

ご質問のケースでは、
流量Ｉ（ｔ）＝ｈ（ｔ）／Ｒ （Ｒは一応定数とします）
残り体積Ｖ（ｔ）＝1/3πｒ（ｔ）＾２ｈ（ｔ）
ここで、
　ｒ（ｔ）＝ｒ（０）*ｈ（ｔ）／ｈ（０）
　Ｖ（ｔ）＝Ｖ（０）－∫Ｉ（ｔ）*ｄｔ
（ｔは時間）
これらの方程式を解いたら、曲線が得られると思います。