位相に関する初歩的な質問です。

集合Ｓにおいて定義されるすべての位相を考え、その集合をF(S)=Fとする。
(Ｏ_α)_α∈AをSにおける位相からなる任意の族(すなわちFの元から成る任意の族)とする。
Ｏ'をどのＯ_αよりも強い任意の位相とすれば、明らかに
Ｏ'⊃∪[α∈A]Ｏ_αである。

∪[α∈A]Ｏ_αは必ずしもＳにおける位相とはならない。・・(★)

(★)はどうしてでしょうか？
∩[α∈A]Ｏ_αは必ずＳにおける位相になりますが・・・。

∪[α∈A]Ｏ_αが位相である為の3つの条件
(1)S∈∪[α∈A]Ｏ_α,φ∈∪[α∈A]Ｏ_α
(2)Ｍ_1,Ｍ_2∈∪[α∈A]Ｏ_αならばＭ_1∩Ｍ_2∈∪[α∈A]Ｏ_α
(3)(Ｍ_λ)_λ∈Λを∪[α∈A]Ｏ_αの元から成る任意の集合族とすると、∪[λ∈Λ]Ｍ_λ∈∪[α∈A]Ｏ_α

のどれが証明できないのでしょうか？？
またその理由はなんですか？
(自分は(1)と(2)は証明できる"つもり"でいますが・・・)


どなたかわかる方いらっしゃったら回答よろしくお願いしますm(_ _)m

No.2 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/05/11 00:59

(1)は明らかに満たしますが、

(2)も(3)も満たさない可能性があります。
そうですね。
たとえば、S={1,2,3,4} として
O1={φ, {1,2}, {1,2,3,4}}
O2={φ, {2,3}, {1,2,3,4}}
とすると、O1，O2は、Sの位相ですが、
O1∪O2 = {φ, {1,2}, {2,3}, {1,2,3,4}}
は、位相の条件の (2)も(3)も満たしません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど。たしかにこれだと
Ｍ_1,Ｍ_2∈Ｏ1∪Ｏ2 として特に
Ｍ_1={1,2}　Ｍ_2={2,3}を考えたとき
Ｍ_1∩Ｍ_2={2}はＯ1∪Ｏ2の元ではないし
Ｍ_1∪Ｍ_2={1,2,3}もＯ1∪Ｏ2の元ではないから
(2)(3)は不成立ですね。
↑あってますよね・・？

ありがとうございました。

お礼日時：2009/05/11 01:27

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/05/11 00:28

>(自分は(1)と(2)は証明できる"つもり"でいますが・・・)

じゃあ、まずはそれを補足にどうぞ。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

(1)
Ｏ_αはＳにおける位相であるからＳ,φ∈Ｏ_α
一方、Ｏ_α⊂∪[α∈A]Ｏ_αであるから、
結局Ｓ,φ∈∪[α∈A]Ｏ_αである。

(2)の証明なんですが、すいません。自分の解答を見直してみたのですが間違っていました。

というのも,Ｍ_1,Ｍ_2∈∪[α∈A]Ｏ_αより
∃α1,α2∈Ａ　s.t.Ｍ_1∈Ｏ_α1　Ｍ_2∈Ｏ_α2
ここから
Ｍ_1∩Ｍ_2∈Ｏ_α1∩Ｏ_α2⊂Ｏ_α1⊂∪[α∈A]Ｏ_α
という風にしてました・・・。
Ｍ_1∩Ｍ_2∈Ｏ_α1∩Ｏ_α2
この式はおかしいですね・・・。
失礼しましたm(_ _)m
まとめると
(1)は常に成り立つが、(2)(3)は成り立つとは限らない
ということでしょうか？

補足日時：2009/05/11 01:14