1/xの積分について

1/xを積分した答えが、logex+C
になる理由がわからないので教えてください。

自然対数eの意味がまったくわからないものとして回答お願いいたします。また、e=2.7ぐらいになるようですが、どのように計算していくと2.7・・・という数字が得られるのか、なんのために自然対数というものが作られたのか教えてください。
お願いいたします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/16 00:20

いろいろな見方はあるけど, 「え? log x ってそう定義したでしょ?」って返し方はありますね.

No.2 回答者： asymptote 回答日時： 2009/05/16 02:10

e=1+1/2! +1/3! +…　=Σ[n=0,∞]1/n !

f(x)=logc_xのx=aにおける微分係数について、
lim[b→a] {f(b)-f(a)}/b-a
b-a=h とおくと　b→a のときh→0 b=a+h
lim[h→0] {logc_(a+h)-logc_a}/h
=lim[h→0]1/h×logc_{(a+h)/a}=lim[h→0]1/a×a/h×logc_{1+(h/a)}=lim[h→0]1/a×logc_{1+(h/a)}^(a/h) (h分のa乗)
t=a/h とおくと
lim[h→0](1+ h/a)^(a/h) =lim[t→∞]{1+(1/t)}^t =e

よって(logc_a)’=1/a×logc_e
(log e_x)’=1/x×log e_e=1/x

F’(x)=f(x) のとき　∫f(x)dx=F(x)+C

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/16 02:17

こんばんは。

＞＞＞自然対数eの意味がまったくわからないものとして

その書き方は、ちょっと変ですね。
ｅは、「自然対数」ではなく「自然対数の底」あるいは「ネイピア数」と言います。


＞＞＞1/xを積分した答えが、logex+C　になる理由がわからないので教えてください。

loge を ln と書くことにします。

（lnｘ）’　＝　lim[h→0]　［（ln（ｘ＋ｈ）－lnｘ）］／ｈ
　＝　lim[h→0]　［ln｛（ｘ＋ｈ）／ｘ）｝］／ｈ
　＝　lim[h→0]　［ln（１　＋　ｈ／ｘ）］／ｈ
ここで、ｘ／ｈ　＝　ｎ　と置けば、[h→0]は、[n→∞]と同じことなので、
　＝　lim[n→∞]　［ln（１　＋　１／ｎ）］／（ｘ／ｎ）
　＝　lim[n→∞]　ｎ［ln（１　＋　１／ｎ）］／ｘ
　＝　lim[n→∞]　［ln（１　＋　１／ｎ）^n］／ｘ
ここで、ｅの定義　ｅ　＝　lim[n→∞]（１　＋　１／ｎ）^n　を思い出せば、
　＝　［lnｅ］／ｘ
　＝　底がｅのlogｅ　／ｘ
　＝　１／ｘ
となります。

これで、（lnｘ）’を微分すれば、１／ｘ　になることがわかりました。

微分の逆は積分ですから、
１／ｘ　を積分すれば、　lnｘ　＋　Ｃ　になるのです。


＞＞＞e=2.7ぐらいになるようですが、どのように計算していくと2.7・・・という数字が得られるのか、

色々とやりかたはあるのでしょうが、高校で習うテイラー展開でもできます。
ｆ（ｘ）＝ｅ^x　をｘ＝１の周りにテイラー展開しますと、

ｆ（１＋ａ）　＝　ｅ^(1+a)
　＝　（１＋ａ）^0／０！　＋　（１＋ａ）^1／１！　＋　（１＋ａ）^2／２！　＋　（１＋ａ）^3／３！　＋　（１＋ａ）^4／４！　＋　（１＋ａ）^5／５！　・・・

ということは、

ｆ（１）　＝　ｅ^1
　＝　１^0／０！　＋　１^1／１！　＋　１^2／２！　＋　１^3／３！　＋　１^4／４！　＋　１^5／５！　・・・
　＝　１／０！　＋　１／１！　＋　１／２！　＋　１／３！　＋　１／４！　＋　１／５！　・・・
（　＝　１／１　＋　１／１　＋　１／２　＋　１／６　＋　１／２４　＋　１／１２０　・・・）

ところが、ｅ^1＝ｅ　なので、
ｅ　＝　１／０！　＋　１／１！　＋　１／２！　＋　１／３！　＋　１／４！　＋　１／５！　・・・
（　＝　１／１　＋　１／１　＋　１／２　＋　１／６　＋　１／２４　＋　１／１２０　・・・）

となります。

ちなみに、
１／１　＋　１／１　＋　１／２　＋　１／６　＋　１／２４　＋　１／１２０
までを計算してみますと、
2.71666667
です。
ここまででも、結構いい線いってますね。
後ろの項をどんどん足していけば、もっと2.718281828・・・に近づきます。


＞＞＞なんのために自然対数というものが作られたのか教えてください。

１．
最も重要なのは、指数関数
ｆ（ｘ）　＝　ａ^x
があるとき、ｆ（ｘ）を何度微分しても、微分する前と同じａ^x になるのは、ｅ^x　だけである、という点です。
（ｅ^x）’＝　ｅ^x

２．
科学技術、物理学、化学、宇宙科学では、ネイピア数ｅがやたらと登場します。
実用面でも、多大な貢献をしています。
そしてまた、身の回りに、ｅと無関係なものは、一つとして存在しません。
つまり、ｅという数は、数学の枠を越える、非常に重要なものなのです。

３．
虚数単位ｉ＝√（－１）　や、円周率π　と組み合わせると、
このような、不思議な式が成り立ちます。
ｅ^(ix)　＝　cosｘ　＋　ｉsinｘ
これは、「オイラーの公式」と呼ばれます。
一見、奇妙な式に見えますけれども、２と同様、学問の面でも実用面でも大活躍します。
私自身、エレクトロニクス関係の製品開発の計算で使ったことがあります。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

この回答への補足

　lim[n→∞]　［ln（１　＋　１／ｎ）^n］／ｘ
のところなのですが、どのようにしたら^ｎになるのでしょうか。
また、x/h=nのx/hというのは、どこからでてきたのでしょうか？

1/x以外にも1/x^2を積分した場合どうなるのでしょうか。
簡単な計算方法を教えてください。

本当に基礎的な質問すいません。

補足日時：2009/05/16 22:55

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/16 03:25

再びお邪魔します。

ｅの応用例として、科学技術関連ではないものを１つ思い出しましたので、挙げておきます。

金融機関で実際に使われているかはわかりませんが、
ネイピア数を使うことにより、金利計算を簡単にできます。
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/napier.pdf
実際の金利計算は１円単位という整数単位なので、ほんの少し違いが出ますけれども、
かなり、正確に近い計算ができます。

ですから、自分の預貯金、借金の金利計算を、Ｅｘｃｅｌなどの表計算ソフトで手軽に計算することもできます。

No.5 回答者： banakona 回答日時： 2009/05/16 06:02

＞1/xを積分した答えが、logex+C

＞になる理由がわからないので教えてください。

模範解答は既に出ているので、少々人を食った回答を。

　　ｙ＝∫dx/x　

両辺を微分して

　（ｄｙ／ｄｘ）＝１／ｘ

ｄｘ／ｄｙ＝１／（ｄｙ／ｄｘ）だから

　　　ｄｘ／ｄｙ＝ｘ

これはｙの逆関数ｘ（ｙ）をｙで微分するとｘ自身になるということ。
つまりｘは指数関数。　　ｘ＝ｋ・ｅ^y　（ｋは積分定数）
　　　∴ｙ＝ｌｏｇｅ（ｘ／ｋ）
　　　　　＝ｌｏｇｅ（ｘ）－ｌｏｇｅ（ｋ）
Ｃ＝－ｌｏｇｅ（ｋ）とおけば
　　　　ｙ＝ｌｏｇｅ（ｘ）＋Ｃ

No.6 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/16 23:52

補足にお答えします。

＞＞＞lim[n→∞]　［ln（１　＋　１／ｎ）^n］／ｘ
＞＞＞のところなのですが、どのようにしたら^ｎになるのでしょうか。

底がなんであっても、
log（Ａ^n）＝　ｎlogＡ
です。
なんでそうなるかは教科書に書いてあるのですが、
簡単に言えば、

ｘ　＝　ln（Ａ^n）
という式は、「Ａ^n というのは、ｅの何乗ですか？」という式です。
ですから、両辺の指数を取れば、
ｅ^x　＝　Ａ^n
となりますよね。

そして、ｅ^(ab)　＝　（ｅ^a）^b　という基本的な法則がありますよね。
（２^3）^2　＝　（２^2）^3　＝　２^6
８^2　＝　４^3　＝　２×２×２×２×２×２

ｎlogＡ　の指数を取れば、上記の法則により、
ｙ　＝　ｅ^(ｎln(A))　＝　｛ｅ^(ln(A))｝^n　＝　Ａ^n
となります。

このように、ｘ＝ｙ＝Ａ^n　となりましたから、つじつまは合っています。


＞＞＞また、x/h=nのx/hというのは、どこからでてきたのでしょうか？

私の発明です。
・・・というか、普通のテクニックです。
三角形の内角の和が１８０度であることを証明するために、
頂点を通り、底辺と平行な直線（補助線）を引きますよね。
それと同じことです。


＞＞＞1/x以外にも1/x^2を積分した場合どうなるのでしょうか。
＞＞＞簡単な計算方法を教えてください。

１／ｘ　以外なら、簡単です。
まず、微分の基本を復習しましょう。
（ｘ^n）’＝　ｎｘ^(n-1)　なのですから、
（ｘ^4）’　＝　４ｘ^3
（ｘ^3）’　＝　３ｘ^2
（ｘ^2）’　＝　２ｘ^1
ですよね？

そして、１／ｘ^a　＝　ｘ^(-a)　なので、
上記と同様に、
（１／ｘ）’　＝　（ｘ^(-1)）’＝　－ｘ^(-2)　＝　－１／ｘ^2
（１／ｘ^2）’　＝　（ｘ^(-2)）’＝　－２ｘ^(-3)　＝　－２／ｘ^3
（１／ｘ^3）’　＝　（ｘ^(-3)）’＝　－３ｘ^(-4)　＝　－３／ｘ^4
（１／ｘ^4）’　＝　（ｘ^(-4)）’＝　－４ｘ^(-5)　＝　－４／ｘ^5
・・・・・

です。

では、１／ｘ^2　の積分はどう考えればよいかというと、
上の中から、右辺が、「なんちゃら／ｘ^2」の形になっているものを探します。
すると、
（１／ｘ）’　＝　（ｘ^(-1)）’＝　－ｘ^(-2)　＝　－１／ｘ^2
が該当します。

つまり、
－１／ｘ^2　＝　（１／ｘ）’　
です。
両辺をｘで積分すれば、
∫（－１／ｘ^2）ｄｘ　＝　１／ｘ　＋　定数
両辺に　－１　をかけて
∫（１／ｘ^2）ｄｘ　＝　－１／ｘ　＋　定数その２
できあがりです。

一度覚えてしまえば、上に書いたことをいちいち書かなくても簡単にできるようになりますから、
ぜひマスターしてください。
繰り返しになりますが、原理は、
ｘ^n　＝　ｎｘ^(n-1)
です。


では。

この回答への補足

^nになる理由は、理解することができました。
ですが、また疑問に思うところがでてきました。

＝　lim[h→0]　［ln（１　＋　ｈ／ｘ）］／ｈ
ここで、ｘ／ｈ　＝　ｎ　と置けば、[h→0]は、[n→∞]と同じことなので、
　＝　lim[n→∞]　［ln（１　＋　１／ｎ）］／（ｘ／ｎ）
　＝　lim[n→∞]　ｎ［ln（１　＋　１／ｎ）］／ｘ
　＝　lim[n→∞]　［ln（１　＋　１／ｎ）^n］／ｘ
ここで、ｅの定義　ｅ　＝　lim[n→∞]（１　＋　１／ｎ）^n　を思い出せば、
　＝　［lnｅ］／ｘ
　＝　底がｅのlogｅ　／ｘ
　＝　１／ｘ
という部分で、どのように計算したら
［ln（１　＋　ｈ／ｘ）］が、［ln（１　＋　１／ｎ）］になるのでしょうか？

また、eの定義ですが、　lim[n→∞]（１　＋　１／ｎ）^n　というふうになるのはなぜでしょうか。

本当に質問ばかりすいません。
ネイピア数、三角関数、
数列、ベクトルはほとんど学んでおらず、私にとってはまだ未知の分野なので。

あと、またわからないことがあれば分かるまで質問してもよろしいでしょうか？
真理を追求してしまう性格なので本当にすいません。
小学生のころもよく、時間や空間は、インフレーションという現象によって無の世界から誕生したのに、なぜ０という数字は、無の数字なんだ。本当の０という数は、存在しないものなのではないか。
などという質問ばかりをしていて、よく怒られていました。


とりあえず回答お待ちしております。

補足日時：2009/05/17 15:22

No.7 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/18 01:56

まいどっ

＞＞＞
また疑問に思うところがでてきました。
＝　lim[h→0]　［ln（１　＋　ｈ／ｘ）］／ｈ
ここで、ｘ／ｈ　＝　ｎ　と置けば、[h→0]は、[n→∞]と同じことなので、
　＝　lim[n→∞]　［ln（１　＋　１／ｎ）］／（ｘ／ｎ）
・・・・・
という部分で、
どのように計算したら
［ln（１　＋　ｈ／ｘ）］が、［ln（１　＋　１／ｎ）］になるのでしょうか？


すぐ上の行に「ｘ／ｈ　＝　ｎ　と置けば」と書いてあるのを見逃さないでください。
両辺の逆数を取れば、ｈ／ｘ　＝　１／ｎ　です。



＞＞＞また、eの定義ですが、　lim[n→∞]（１　＋　１／ｎ）^n　というふうになるのはなぜでしょうか。


普通、定義に関して、「なぜ」はありませんよ。
「１つの角が直角である三角形を直角三角形と定義する」
としたとき、
「なぜ１つの角が直角な三角形を直角三角形というふうになるのはなぜでしょうか。」
と言うのと同じことです。

もしかして、
なぜｅという数を定義するのか？　ｅというものの存在意義とは何なのか？
ということですか？
そういうことであれば、最初の回答（Ｎｏ．３）をもう一度読んでください。



＞＞＞真理を追求してしまう性格なので本当にすいません。

それは非常に良いことです。全然悪くありません。
ただし、
すでに投稿された回答を熟読せず、見落としによって「新たな疑問」のように追加質問するのは、いかがなものかと思います。
正直申しますと、このたびの追加質問で、ちょっと、がっくりきました。



＞＞＞小学生のころもよく、時間や空間は、インフレーションという現象によって無の世界から誕生したのに、なぜ０という数字は、無の数字なんだ。本当の０という数は、存在しないものなのではないか。などという質問ばかりをしていて、よく怒られていました。

科学、特に、この世の根源を追求することに興味を持たれているんですね。
そういう意味では、私と似たタイプでいらっしゃるかもしれません。
（ちなみに、インフレーションって、無から有ができた後の段階じゃなかったでしたっけ？）



本件の私の回答は、今回もって最後とさせてください。