漸化式

漸化式についてなんですが、

問題；数列{an}の初項から第n項までの和をSnとするとき、関係式Sn=2An+nが成り立っている。

n>=1のとき、Bn=A(n+1)-Anとおく。Bnをnを用いて表せ。

というものなんですが、どう変形したりしてもｎで表せません。
答えはBn=-2^nなのですが、途中式が解法として載ってないのでよく分かりません。

ご解答お願いします。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2009/05/16 21:51

S[n]=2A[n]+nより

　　A[n] = (S[n]-n)/2
となります。
同様に
　　A[n+1] = (S[n+1]-n)/2
です。
これをB[n]の式に代入して計算してください。

また、途中S[n+1]-S[n]という項が出てくると思いますが、
　　S[n] = A[1] +A[2] +A[3] +... +A[n]
ということを思い出せば、
　　S[n+1]-S[n] = A[n+1]
が分かると思います。

あとは式を整理していけば、A[n+1]とA[n]の関係が分かって、それ以降B[n]の出番が無くても問題は解けるような。
というか、B[n]を持ち出す意味はないような。