三日月の直線を関数であらわすとどうなるのでしょうか？

タイトルの通りなのですが、三日月（別に三日目の月でなくてもいいのですが要するに、かけた月のことです）のかけている部分の曲線って関数というか、式で表すとどうなるのでしょうか、楕円形の一部とはとても思えないですし、どうあらわせばよいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2009/05/17 23:38

あくまで参考意見として読んでください。

月が満ち欠けして見えるのは、月面のうち太陽の方向を向いている半球が輝いて見えるため。
太陽光線をほぼ平行光線と見なせば、月面において照らされている部分と陰の部分の境目は、月を球体と見たときの大円になるはず。
(ここで「大円」とは、球面上に描ける円のうち半径が最も大きいもの。
円の中心が球の中心と一致するものである。)

今回着目している「三日月の曲線」とは、この大円のうち、地球から見えている一部分ということになるだろう。
さて、地球から月を見たときの視線と大円が作る面との角度によって、大円の見た目の形が決まるわけだが、元が円である以上傾いて見たときのその曲線は楕円でしかないだろう。
結局、「三日月の曲線」とは楕円の一部であると思う。

何故、楕円形の一部とはとても思えないのか、反証は？それについては感覚的なもの？

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2009/05/18 08:28

＃１に「月の明暗の境界線は楕円の一部になる」とあります。

これで正しいと思います。

明と暗は月を半分に分けています。
境界線は円ですから回転する円板の形がどのように見えるかというのと同じです。
いらなくなったボールの半分をマジックで黒く塗ってみてどのように見えるかを確めてみてください。

よく挿絵などの三日月の形が
「大きい円から小さい円を切り抜いた形」に描かれていることがあります。これは違うということになります。
円から円を切り抜いた形というのは月食の時に見える形です。
地球の影の部分が境界になりますから円です。

No.3 回答者： kentarou2333 回答日時： 2009/05/18 19:33

感覚的な説明としては、#2 さんので十分だと思います。

円を立体方向に回転させたものは楕円になりますからね。

一応、月はゆがんでいない球だとしていいですよね。

そうだとして、数学的に証明すると、、、


球の表面は、横方向を x軸、縦方向を z軸、前後方向を y軸として、

　　x^2 + y^2 + z^2 = r^2

になります。



手元にボールがあったら、その半分（影の部分）を黒く塗ってみて
ください。なかったら、想像してみてください。

そして、三日月の欠けている部分の曲線は、
球面状の大円（南極と北極を通過する円）の一部になります。

この大円は真上( z軸方向 )から見ると、球を横切る直線に見えます。

つまり、x と y の間には、

　　y = A x

という関係が成り立ちます。


これを最初の式に代入すると、

　　x^2 + (A x)^2 + z^2 = r^2

となり、変形すると

　　(1+A^2) x^2 + z^2 = r ^2

となります。


これは、楕円の式である

　　ax^2 + by^2 = r^2

と変形ですので、楕円になるという結論になります。