sin(ωt+θ) のラプラス変換を教えてください!
よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

#1です。



f(t)=sin(wt+θ)={1/(2j)}[exp{j(wt+θ)}-[exp{-j(wt+θ)}]
L{f(t)}={1/(2j)}exp(jθ)∫[0,∞]e^-(s-jw)tdt
-{1/(2j)}exp(-jθ)∫[0,∞]e^-(s+jw)tdt
={1/(2j)}{exp(jθ)/(s-jw)-exp(-jθ)/(s+jw)}
={1/(2j)}{(cosθ+jsinθ)/(s-jw)-(cosθ-jsinθ)/(s+jw)}
={1/(2j)}[cosθ{1/(s-jw)-1/(s+iw)}+jsinθ{1/(s-jw)+1/(s+jw)}]
=cosθ*w/(s^2+w^2)+sinθ*s/(s^2+w^2)
=(w cosθ+s sinθ)/(s^2+w^2)
回答者さんのやった計算と比較してみてください。

以上はラプラス変換の定義式しか使っていませんのでsin(wt)やcos(wt)のラプラス変換の公式を覚えていなくてもできるやり方です。

なお、
#2さんのやり方はsin(wt)とcos(wt)のラプラス変換の公式を覚えていないとできない方法ですね。覚えていれば簡単ですが。。。
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この回答へのお礼

なるほどぉ!!
わかりやすい回答ありがとうございます!
お手数をおかけしました。
これで先に進めます!!

お礼日時:2009/05/19 01:49

ラプラス変換をLであらわすと


L(sin(ωt+θ))=L(sinωtcosθ+cosωtsinθ)
=cosθL(sinωt)+sinθL(cosωt)
=cosθ(ω/(s^2+ω^2))+sinθ(s/(s^2+ω^2))
=(ωcosθ+ssinθ)/(s^2+ω^2)

です。
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この回答へのお礼

お早い回答ありがとうございます!
sin(ωt+θ)=sinωtcosθ+cosωtsinθ
となるのですか!
でも何でこうなるのでしょうか?

お礼日時:2009/05/19 00:33

ヒント)



ラプラス変換の定義式に
f(t)=sin(wt+θ)={1/(2i)}[exp{j(wt+θ)}-[exp{-j(wt+θ)}]
を代入してやればできませんか?
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この回答へのお礼

お早い回答ありがとうございます!
f(t)=sin(wt+θ)={1/(2i)}[exp{j(wt+θ)}-[exp{-j(wt+θ)}]
難しいです・・・
がんばってみます!

お礼日時:2009/05/19 00:32

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Qラプラス変換で連立微分方程式を解くとき

お願いします。

連立微分方程式をラプラス変換で解くとき、
たとえばx'をラプラス変換すると
sL(x) - x(0)
のようにx(0)が出てきますよね。
ラプラス変換の問題集の場合たいてい初期条件が付いているのですが、
初期条件がない場合はこのままx(0)を答えに使用してもよいのでしょうか。

たとえば演算子法で解く問題の場合、
x' = x - 4y
y' = x + 5y
となっていて、問題集の回答の通り微分演算子で解けば
答えは
x = {(C2 - 2C1) - 2C2t}exp(3t)
y = (C1 + C2t)exp(3t)
(C1,C2は任意定数)
となります。一方ラプラス変換で解くと
x = (x0 - (2x0 + 4y0)t)exp(3t)
y = (y0 + (x0 + 2y0)t)exp(3t)
(x0 = x(0),y0 = y(0))
となります。
これは実は C1 = y0, C2 = x0 + 2y0
と置き直すと同じになります。ここで質問です。

(1)このような問題でふつうは任意定数を使うべきでしょうが、
x(0),y(0)を使ったら不正解なのでしょうか。

(2)そもそもx(0),y(0)は任意定数になるのでしょうか。

(3)なんだかラプラス変換があれば微分演算子法は
いらない子のような気もしなくはないのですが
気のせいでしょうか?

以上です。よろしくお願いいたします。

お願いします。

連立微分方程式をラプラス変換で解くとき、
たとえばx'をラプラス変換すると
sL(x) - x(0)
のようにx(0)が出てきますよね。
ラプラス変換の問題集の場合たいてい初期条件が付いているのですが、
初期条件がない場合はこのままx(0)を答えに使用してもよいのでしょうか。

たとえば演算子法で解く問題の場合、
x' = x - 4y
y' = x + 5y
となっていて、問題集の回答の通り微分演算子で解けば
答えは
x = {(C2 - 2C1) - 2C2t}exp(3t)
y = (C1 + C2t)exp(3t)
(C1,C2は任意定数)
とな...続きを読む

Aベストアンサー

(A) C1、C2は初期条件(境界条件)によって決まる定数であって、全く自由に決められる定数ではありません。普通任意定数といっているのは、初期条件によってどんな値にでも任意に決まられる定数の意味です。

(B) 一方、x(0),y(0)はそれぞれ、変数x(t),y(t)の初期値という事です。
具体的な初期値(境界値)が決まればそれで置き換えることができる値です。
全く何も制約のない任意定数ではありません。

(A)は数学者、純粋数学で使われる傾向にあり、実際の物理量と無関係な定数として扱われ、
(B)は現実的な初期の物理量の初期値をあらわす物理量で工学や実験系の物理学でで採用される傾向にあります。

実際、初期条件(境界条件)を与えてやれば、時間関数の変数(物理変数)の式は同じになります。

> (3)なんだかラプラス変換があれば微分演算子法は
いらない子のような気もしなくはないのですが
気のせいでしょうか?

あなたがどちらの立場を取るかの違いだけです。
数学分野の人なら演算子法をより好んで使い、工学系の人ならラプラス変換をより好んで使うということですね。

工学分野の人が、数学分野の人に演算子法はいらない(不要だ)、ラプラシ変換法を使え。といっても、結論はでないでしょうね。
逆のことを言われるだけでしょう。

(A) C1、C2は初期条件(境界条件)によって決まる定数であって、全く自由に決められる定数ではありません。普通任意定数といっているのは、初期条件によってどんな値にでも任意に決まられる定数の意味です。

(B) 一方、x(0),y(0)はそれぞれ、変数x(t),y(t)の初期値という事です。
具体的な初期値(境界値)が決まればそれで置き換えることができる値です。
全く何も制約のない任意定数ではありません。

(A)は数学者、純粋数学で使われる傾向にあり、実際の物理量と無関係な定数として扱われ、
(B)は現...続きを読む

Qsin^2(90°+θ)+sin^2(180°-θ)+cos^2(90

sin^2(90°+θ)+sin^2(180°-θ)+cos^2(90°+θ)+sin^2(90°-θ)
を解いてください

計算式もお願いします

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 まずは三角関数の補角の公式・余角の公式などをマスターしましょう。
 そしてこれらを使って基本に忠実に計算していきましょう。
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/s2_sankaku_seishitu.pdf

 sin(90°+θ)=cosθ
 sin(180°-θ)=sinθ
 cos(90°+θ)=-sinθ
 sin(90°-θ)=cosθ

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    =2 (∵ (cosθ)^2+(sinθ)^2=1)

Qラプラス変換

ラプラス変換の式は理解できるのですが、
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物理におけるフーリエ変換と対比して考えてみることが大切です。変換により座標の時間軸は周波数軸、空間軸(x,y,z)は運動量軸(px,py,pz)となり、その変換関数はスペクトル振幅など明瞭な物理的意義があります。他方ラプラース変換は微分方程式を解くための巧妙な数学的技巧に過ぎず変換関数にも物理的な意味は無いと思います。
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Qsin(ωt) + sin(ωt+Φ) は正弦波?

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宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

>三角関数の加法定理を使って検討してみましたが

和積の公式を知りませんか?

Sin(ωt) + Sin(ωt+Φ)
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= 2cos(Φ/2)sin(ωt+(Φ/2))

Qラプラス変換を初等的関数に適用したら

数学は中学程度なのですが、今はラプラス変換にあこがれています。この変換はたとえばy=xのような関数に施すとラプラス変換について何かわかるでしょうか。

Aベストアンサー

ラプラス変換を私なりに分類すると

h:t<0でh(t)=0,0<tでh(t)=1
T:決まった時間、負であっても正であってもよい
とすると
(1)片側ラプラス変換:F(s):=∫[0<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)
(2)擬似両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・h(t-T)・e^(-s・t)
(3)両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)

(1)
通常のラプラス変換
初心者向き
δ関数が変な妥協しないと変換できない
公式が汚く(2)より多い
変換と原関数が1対1
(2)
最も有用
中級者向き
Tを自在に設定できるので便利
変換できる関数を多くするにはTを大きな負にとる
そのためδ関数を問題なく変換できる
公式が綺麗で(1)より少ないので楽
変換と原関数が1対1
(3)
変換できる関数が最も広く万能だが扱いにくい
上級者向き
欠点はtの一次以上の多項式を変換できない
変換と原関数が1対1に対応するとは限らない
公式は適用できない
複素関数論(留数定理、ジョルダンの補助定理)を熟知していないと扱えない

f(t)=tの変換は
(1)F(s)=1/s^2
(2)F(s)=(T/s+1/s^2)・e^(-s・T)
(3)変換できない

ラプラス変換を私なりに分類すると

h:t<0でh(t)=0,0<tでh(t)=1
T:決まった時間、負であっても正であってもよい
とすると
(1)片側ラプラス変換:F(s):=∫[0<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)
(2)擬似両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・h(t-T)・e^(-s・t)
(3)両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)

(1)
通常のラプラス変換
初心者向き
δ関数が変な妥協しないと変換できない
公式が汚く(2)より多い
変換と原関数が1対1
(2)
最も有用
中級者向き
Tを自在に設定できるので便利
変換...続きを読む

Qsin(θ1 + θ2 + θ3)を求める問題

tanθ1 = 1 , tanθ2 = 1/2 , tanθ3 = 1/3,
0<θi<π/2 (i=1,2,3) とするとき、
sin(θ1 + θ2 + θ3)の値を求めよ

という問題で、
答えは1のようです。
sinθ1 = 1/√2 sinθ2 = 2/√5 ・・・
とだしていってみて、
sin(θ1 + θ2 + θ3)=1/√2 + 2/√5 + 3/√10
としましたが1にならず・・・
甘いということなんでしょうか・・。
過程のアドバイスお願いします・・・
あと先日投稿した問題で、

問題が・・・平面状の点(x.y)が単位¥上を動くとき、15x^2 + 10xy - 9y^2 の最大値と最大値を与える点Pの座標を求めよ。ただし、単位演習とは原点を中心とする半径1の円周のことである。
・・・で、答えはP(5/√26 ,1/√26)または
P(-5/√26 ,-1/√26)のとき最大値16

の回答をしてくださったspringsideさんの回答の中で、


与式が最大になるのは、sin(2θ+α)=1のときで、最大値は13+3=16である。
このとき、2θ+α=π/2なので、θ=(π/4)-(α/2)となり、このθをx=cosθ、y=sinθに代入すれば、x,yの値が判る(sin(α/2),cos(α/2)が必要になるのでちょっと面倒かも。)

という最後の「2θ+α=π/2なので、θ=(π/4)-(α/2)となり」がわかりません・・・。最初の過程は問題ないのですが。

あとtake_5さんは別の方法で、

cos2θ=a、sin2θ=bとします。
そうすると、a^2+b^2=1のとき、k=12a+5b+3の最大値を求める問題に帰着します。
これは、ab平面上で直線:k=12a+5b+3が、円:a^2+b^2=1に接するときであることは直ぐ分かるでしょう。
それ以降は、簡単と思います。

ごめんなさい。しばらく数学を離れていたためか正解に近いらしきヒントを与えてもらったにもかかわらずこれも「それ以降は」のあと鉛筆が動きませんでした。助け願います・・・

tanθ1 = 1 , tanθ2 = 1/2 , tanθ3 = 1/3,
0<θi<π/2 (i=1,2,3) とするとき、
sin(θ1 + θ2 + θ3)の値を求めよ

という問題で、
答えは1のようです。
sinθ1 = 1/√2 sinθ2 = 2/√5 ・・・
とだしていってみて、
sin(θ1 + θ2 + θ3)=1/√2 + 2/√5 + 3/√10
としましたが1にならず・・・
甘いということなんでしょうか・・。
過程のアドバイスお願いします・・・
あと先日投稿した問題で、

問題が・・・平面状の点(x.y)が単位¥上を動くとき、15x^2 + 10xy - 9y^2 の最大値と最大値を与える点Pの...続きを読む

Aベストアンサー

INo.1の方の解答の前に

この問題で使用すべきは、
三角関数についての加法定理です


sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
(ちなみに) 
sin(θ1+θ2+θ3)=1/√2+2/√5+3/√10 とは出来ません
tan(β+γ)=(tanβ+tanγ)/(1-tanβtanγ)

II springsideさんの解答では 三角関数の合成の公式  を利用しています。 
  
公式:a*sinθ+b*cosθ=√(a^2+b^2)×sin(θ+α)
ただしαは sinα=b/√(a^2+b^2) 、cosα=a/√(a^2+b^2) を満たす角

与式=5sin2θ+12cos2θ+3k=12a+5b+3
  =√(25+144))×sin(2θ+α)+3
  =13sin(2θ+α)+3
で これが最大になるときは sin(2θ+α)=1になるとき、すなわち 2θ+α=π/2になるとき
この式を変形してθ=π/4-α/2 

そのとき 点Pの座標は
x座標=cosθ=cos(π/4-α/2)  …cosの加法定理を使って、さらに半角公式を使って求めます。
y座標=sinθ=sin(π/4-α/2) も同様です。

III take_5さんの解答の方が計算は楽そうですね。(でもないかな?)
 
横軸をa軸、縦軸をb軸として
単位円(原点中心、半径1の円)と
k=12a+5b+3を変形して 直線 b=(-12/5)a+k/5-3/5
の図を描いてください

円周上の点(a、b)に対して 12a+5b+3 の値kは
(k/5-3/5 という形になって)b軸との交点(切片)のところで現れてきます。
kが最大値となるとき(すなわち k/5-3/5 が最大値となるとき)は、直線が円に接する時だという事が理解できると思いますが?(最小値も同様に)
そしてそのときのa,bの値は結局円と直線の接点の座標を求めれば良いわけです。(判別式利用の方法が一番簡単かな?)

以上 図を示せませんので非常に分かりにくいとおもいます。

IIIについては参考書か何かの、「領域と最大値・最小値」という所を見てください。
 

INo.1の方の解答の前に

この問題で使用すべきは、
三角関数についての加法定理です


sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
(ちなみに) 
sin(θ1+θ2+θ3)=1/√2+2/√5+3/√10 とは出来ません
tan(β+γ)=(tanβ+tanγ)/(1-tanβtanγ)

II springsideさんの解答では 三角関数の合成の公式  を利用しています。 
  
公式:a*sinθ+b*cosθ=√(a^2+b^2)×sin(θ+α)
ただしαは sinα=b/√(a^2+b^2) 、cosα=a/√(a^2+b^2) を満たす角

与式=5sin2θ+12cos2θ+3k=12a+5b+3
  =√(25+144))×sin(...続きを読む

Qラプラス変換とフーリエ変換について教えて下さい。

ラプラス変換とフーリエ変換の違いは後者が虚数だけなのに対して、前者はそれを拡張して複素数に使えるようにしたものであるということ分かるのですが、その使い分け方がさっぱり分かりません。

・一般的に微分方程式を解くときにはラプラス変換を用いますが、これをフーリエ変換でしないのはなぜなのでしょうか?

・逆格子ベクトルを作るときや、スペクトラムアナライザーではフーリエ変換を使いますが、これをラプラス変換でしてはいけないのでしょうか?

・計算機用にフーリエ変換にはFFTというものがありますが、ラプラス変換を離散的にしたZ変換の計算機用に速くしたものがないのはなぜなのでしょうか?

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

お世話さまです。
>一般的に微分方程式を解くときにはラプラス変換を用いますが、これをフーリエ変換でしないのはなぜなのでしょうか?
無限に続く関数はフーリエ変換できないため。sin関数が例です。
積分した値が無限無限大以下となるような関数しか扱えません。

ラプラス変換でもスペクトラムアナライザー変換できます。
フーリエ変換の中にラプラス変換があるイメージで考えるとわかりやすいです。まず使用はないです。積分・微分演算子の分野として確立してます。

Qcos3θ+sin2θ+cosθ>0をどう変形すればcosθ(2sin

cos3θ+sin2θ+cosθ>0をどう変形すればcosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0になりますか?

Aベストアンサー

・まずcos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ=cosθ×{4(cosθ)^2-3}となります。(※)

・次に、sin2θ=2sinθcosθ(2倍角の公式)。以上から

・cos3θ+sin2θ+cosθ

=cosθ{4(cosθ)^2-3}+2sinθcosθ+cosθ

=cosθ{4(cosθ)^2-3+2sinθ+1} ここで、(cosθ)^2=1-(sinθ)^2を用いて整理すると、

=cosθ{-4(sinθ)^2+2sinθ+2}

=-2cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)>0となり、

目的のcosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0が得られます。

※これは「3倍角の公式」と言われる公式で、暗記で覚えてしまう方法もありますが、納得のいかない人は3θ=2θ+θであることを用いて三角関数の加法定理で自分で導き出すこともできますよ(余談ですが僕は覚えられないのでそうしてます。)

・参考
sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3

Qラプラス変換についての質問です

ラプラス変換についての質問です。
f(t)cos(ωt)のラプラス変換のやり方がわかりません。やり方だけでも
結構ですので、わかる方いましたら、是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ヒントのみ
オイラーの公式から
cosωt=(1/2)e^(iωt)+(1/2)e^(-iωt)
この式をラプラス変換の定義式にいれてラプラス変換するだけ。

ラプラス変換の定義式に上の式を代入して指数部をtで括って見てください。そしてラプラス変換の定義式とじっくりと比較してください。
分からなければ、以上の計算式を書いた上で、分からない箇所を質問して下さい。

Qa cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 +

a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)?

2倍角の公式を使うと、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 + 2c cos(θ)sin(θ)
= (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ) + c sin(2θ)
になるそうです。

2c cos(θ)sin(θ) = c sin(2θ)
の方は分かるのですが、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
の方はどうやって計算していいのか分かりません。

使う公式は
cos(θ)^2 - sin(θ)^2 = cos 2θ
だと思います。
でも、aとbが邪魔ですよね?
しかも b sin(θ)^2 の符号が+です。

a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
の経過を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

えっと、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2というのは
a(cosθ)^2+b(sinθ)^2ですよね?
答えがcosで表されているので、(sinθ)^2をcosで表現すると
1-(cosθ)^2です すると

 a(cosθ)^2+b(sinθ)^2
=a(cosθ)^2+b{1-(cosθ)^2}
整理して
=(a-b)(cosθ)^2+b
ここで、二倍角を使います
cos2θ=2(cosθ)^2-1
ですので、
(cosθ)^2=(cos2θ+1)/2
ですね?
すると
 (a-b)(cosθ)^2+b
=(a-b){(cos2θ+1)/2}+b
展開して
=(a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
となります


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