ついに夏本番!さぁ、家族でキャンプに行くぞ! >>

sin(ωt+θ) のラプラス変換を教えてください!
よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

#1です。



f(t)=sin(wt+θ)={1/(2j)}[exp{j(wt+θ)}-[exp{-j(wt+θ)}]
L{f(t)}={1/(2j)}exp(jθ)∫[0,∞]e^-(s-jw)tdt
-{1/(2j)}exp(-jθ)∫[0,∞]e^-(s+jw)tdt
={1/(2j)}{exp(jθ)/(s-jw)-exp(-jθ)/(s+jw)}
={1/(2j)}{(cosθ+jsinθ)/(s-jw)-(cosθ-jsinθ)/(s+jw)}
={1/(2j)}[cosθ{1/(s-jw)-1/(s+iw)}+jsinθ{1/(s-jw)+1/(s+jw)}]
=cosθ*w/(s^2+w^2)+sinθ*s/(s^2+w^2)
=(w cosθ+s sinθ)/(s^2+w^2)
回答者さんのやった計算と比較してみてください。

以上はラプラス変換の定義式しか使っていませんのでsin(wt)やcos(wt)のラプラス変換の公式を覚えていなくてもできるやり方です。

なお、
#2さんのやり方はsin(wt)とcos(wt)のラプラス変換の公式を覚えていないとできない方法ですね。覚えていれば簡単ですが。。。
    • good
    • 8
この回答へのお礼

なるほどぉ!!
わかりやすい回答ありがとうございます!
お手数をおかけしました。
これで先に進めます!!

お礼日時:2009/05/19 01:49

ラプラス変換をLであらわすと


L(sin(ωt+θ))=L(sinωtcosθ+cosωtsinθ)
=cosθL(sinωt)+sinθL(cosωt)
=cosθ(ω/(s^2+ω^2))+sinθ(s/(s^2+ω^2))
=(ωcosθ+ssinθ)/(s^2+ω^2)

です。
    • good
    • 4
この回答へのお礼

お早い回答ありがとうございます!
sin(ωt+θ)=sinωtcosθ+cosωtsinθ
となるのですか!
でも何でこうなるのでしょうか?

お礼日時:2009/05/19 00:33

ヒント)



ラプラス変換の定義式に
f(t)=sin(wt+θ)={1/(2i)}[exp{j(wt+θ)}-[exp{-j(wt+θ)}]
を代入してやればできませんか?
    • good
    • 1
この回答へのお礼

お早い回答ありがとうございます!
f(t)=sin(wt+θ)={1/(2i)}[exp{j(wt+θ)}-[exp{-j(wt+θ)}]
難しいです・・・
がんばってみます!

お礼日時:2009/05/19 00:32

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qt×cos(wt)のラプラス変換が分かりません。

t×cos(wt)のラプラス変換が分かりません。
初歩かもしれませんが、どなたかヒントだけでも教えていただけないでしょうか?
普通に定義に従って積分しようとしましたがつまずきました。それとも積のラプラス変換の解き方みたいなものでもあるのでしょうか?

Aベストアンサー

これ結構難しいです。初歩レベルではないですね。
積分記号が煩わしいので0から∞までの積分を|で記します。

(1) 形式的な導き方
dF(s)/ds=-|exp(-st)・t・f(t)dt を示すには、
左辺の定義どおり書き下して、
dF(s)/ds=lim[h→0]{(F(s+h)-F(s))/h}
=lim[h→0]{|exp(-st)・(exp(-ht)-1)/h・f(t)dt}
=-|exp(-st)・t・f(t)dt
∵exp(-ht)=1-ht+h^2・t^2/2!-.... だから (exp(-ht)-1)/h=-t+h・t^2/2!-h^2・t^3/3!+.... ここでh→0とする。
収束のことを考えると、厳密な証明は煩雑になりますが、通常の仮定と同様にf(t)の絶対値が指数オーダーで抑えられていれば上記は正しいです。

(2) t・cos(ωt)を直接計算する方法
これもかなり面倒です。
ラプラス変換においては、裏関数F(s)とG(s)の掛け算が表関数の合成積(コンボリュージョン)Int[0,t]{f(t-τ)・g(τ)dτ}になるという定理を使って1/{s^2+ω^2}^2の表関数を求めます。今の場合、F(s)=G(s)=1/{s^2+ω^2}とします。[sinωt/ω どうしの合成積を求める]

1/{s^2+ω^2}^2 → 1/(2ω^2)・{sinωt/ω -t・cosωt}のラプラス変換
となるので、
{t・cosωt}のラプラス変換は、
-2ω^2/{s^2+ω^2}^2 + 1/(s^2+ω^2)= (s^2-ω^2)/(s^2+ω^2)^2
と求まります。
こちらは、収束に悩むことは無い代わりに、合成積の計算を間違う危険性があります。

どちらにしても、簡単には計算できませんが、公式表があって、結果を知っていれば、良い演習問題かも知れません。

これ結構難しいです。初歩レベルではないですね。
積分記号が煩わしいので0から∞までの積分を|で記します。

(1) 形式的な導き方
dF(s)/ds=-|exp(-st)・t・f(t)dt を示すには、
左辺の定義どおり書き下して、
dF(s)/ds=lim[h→0]{(F(s+h)-F(s))/h}
=lim[h→0]{|exp(-st)・(exp(-ht)-1)/h・f(t)dt}
=-|exp(-st)・t・f(t)dt
∵exp(-ht)=1-ht+h^2・t^2/2!-.... だから (exp(-ht)-1)/h=-t+h・t^2/2!-h^2・t^3/3!+.... ここでh→0とする。
収束のことを考えると、厳密な証明は煩雑になりますが、通常の仮定と...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

QRC並列回路(直流)の微分方程式が分かりません

RC並列回路(直流回路)の過渡応答の微分方程式がうまく導くことができません。
初期状態で,電荷Qがコンデンサに蓄えられています。
回路動作のイメージは出来ているのですが・・・。

どなたか,助けていただけませんか?
もうノートが真っ黒です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしました.

ただし,
v = E u(t). …(4)

(1),(2)よりi_Rを消去して,
i_C = (1 + r/R)i - v/R.

これを(3)に代入して,
v = r i + (1/C)∫(-∞,t]{(1 + r/R)i - v/R}dt
dv/dt = r di/dt + (1 + r/R)i/C - v/(C R)

∴di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r = (E/r){δ(t) + u(t)/(C R)}.

ただし,初期条件は E = r i(0) より
i(0) = E/r.

これがこの回路の微分方程式です.

----
この微分方程式はラグランジュの定数変化法で解くことができて,初期条件を考慮した解は,t > 0 において

i
= (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}
+ E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

したがって,

i_R = E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

i_C = (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}.

コンデンサの両端の電圧は

v_C = R i_R
= E/(1 + r/R) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}]

以上の結果においてr→+0の極限を取ると,その振る舞いはANo.3の解と一致します.

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしまし...続きを読む

Qラプラス変換に関して

f(t) = te^at →(ラプラス変換) F(s) = 1/(s-a)^2

この計算の途中過程を教えてください。
 
e^-st をどのように使うかがよくわかりません

回答宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

e^(-st) の使い方って…
ラプラス変換の定義 L[ f(t) ] = ∫[0~∞] f(t) e^(-st) dt
を知らなければ、話にならない。
計算練習の前に、一通り本を読もう。

G(s) = L[ g(t) ] と置くとき、
L[ g(t) e^(at) ] = ∫[0~∞] g(t) e^(at) e^(-st) dt
= ∫[0~∞] g(t) e^((a-s)t) dt
= G(s-a).
これは基本公式。是非、導出込みで理解しておかなければ。

g(t) = t の場合に、問題の
F(s) = L[ f(t) ] = L[ t e^(at) ] になる。

G(s) = L[ t ] = ∫[0~∞] t e^(-st) dt
= (1/s^2) ∫[0~∞] u e^(-u) du ; u = st
= (1/s^2) { [-u e^(-u)]_(0~∞) - ∫[0~∞] -e^(-u) du } ; 部分積分
= (1/s^2) { (0 - 0) - [e^(-u)]_(0~∞) }
= 1/s^2
…は、計算せずに、ラプラス変換で引いてもいいが、

いづれにせよ、
F(s) = G(s-a) = 1/(s-a)^2.

e^(-st) の使い方って…
ラプラス変換の定義 L[ f(t) ] = ∫[0~∞] f(t) e^(-st) dt
を知らなければ、話にならない。
計算練習の前に、一通り本を読もう。

G(s) = L[ g(t) ] と置くとき、
L[ g(t) e^(at) ] = ∫[0~∞] g(t) e^(at) e^(-st) dt
= ∫[0~∞] g(t) e^((a-s)t) dt
= G(s-a).
これは基本公式。是非、導出込みで理解しておかなければ。

g(t) = t の場合に、問題の
F(s) = L[ f(t) ] = L[ t e^(at) ] になる。

G(s) = L[ t ] = ∫[0~∞] t e^(-st) dt
= (1/s^2) ∫[0~∞] u e^(-u) du ; u = st
= (1/s^2) {...続きを読む

Qブロック線図の簡略化について。 伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。 写真の

ブロック線図の簡略化について。

伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。
写真の問題で答えは下に書いてありますが、どのようにして導けるのか分かりません。

基本的な縦続や並列、フィードバックや加え合わせ点の移動などは理解しています。

ご教授お願いします。

Aベストアンサー

簡略化の過程を添付図で説明します。

 まず(a)から(b)へ
G2の入力信号G2_inはG1の出力とG3の出力が加算されてますのでこれをyとxを使った式で表しますと、

   G2_in=xG3+(x-yH)G1   (1)

この式を書き直し変形して

   G2_in=x(G1+G3)-yG1H   (2)

と表されます。
 この式(2)をもとにブロック図(a)を書き直すと(b)のように書き直せます。
 それを(c)のように書き直せます。(c)から先は簡単なので省略します。

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
こういう関係を、「逆関数」というんです。

どうでしょう、わかりましたか?

Qeのマイナス無限大乗

lim(t→∞) 1-e^(-t/T)
T:定数

というのがあって、極限値が1になることは手計算で分かったのですが、
数学的に1になる理由が分かりません。

e^(-∞)=0になる理由を数学的に教えてください。

Aベストアンサー

e^(-n) = (1/e)^n
であり、
0<|1/e|<1
だから

Q一巡伝達関数と開ループ伝達関数

一巡伝達関数と開ループ伝達関数は何が違うのでしょうか?
本によって定義がまちまちで、あまり正しい定義がないのかなと思ってしまいますが、ちゃんとした定義が存在するのでしょうか?
インターネットでは一巡伝達関数と開ループ伝達関数は同一視していますが、私の学校の教科書では開ループ伝達関数はフィードバック系を取り除いたときのもの(すなわちC(S)P(S))、一巡伝達関数は閉ループ系を一巡したときのもの(すなわちC(S)P(S)H(S))となっています。

ご存じの方がいたらご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

教科書の定義が正しいです。

一巡伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、ループ全体一周する伝達関数で、ループの安定性(位相余裕など)なんかを調べるときに使います。

開ループ伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、入力と出力の比です。

つまり、ループを切り開いて考えるのは同じですが、一巡伝達関数がループを一周(フィードバックの要素も考える)のに対して、開ループ伝達関数は入力と出力の比です(したがってフィードバックの要素は考えない)。

フィードバックの要素がない場合には、2つは同じになります。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング