どうして∬dxdy=∬drdθかけるrなのでしょうか
なぜrをかけるのかわかりません どうやら行列をつかったりする必要があるらしいのですがちょっとわかりずらいです  わかりやすく教えてもらえないでしょうか?

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A 回答 (1件)

■各座標系の面積素(微小な面積を表す成分要素)dSがどう表されるかを考えて見てください。


直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
dS=dxdy
ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向(円弧方向)の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ
となります。
なので
∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
となるのです。

●数式で扱う場合はヤコビ行列を使って座標変換ができます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0% …
この中の円座標の所が二次元の極座標のヤコビアン|J|の計算で
|J|=rが出てきますのでこれを使って変数変換
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
をします。
実際の計算は
x=rcosθ,y=rsinθ
から
ヤコビ行列Jを求めて
J=
(∂x/∂r,∂x/∂θ)
(∂y/∂r,∂y/∂θ)
=
(cosθ,-rsinθ)
(sinθ,rcosθ)
これからヤコビアン|J|を求めれば
|J|=
|cosθ,-rsinθ|
|sinθ, rcosθ|
=r(cos^2θ+sin^2θ)=r
となりますので機械的に
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
と変数変換すればいいことになります。

■で考えるか、●で考えるかは自由です。

直感的には面積素で考える■の方が覚えやすいかと思います。
XY座標から極座標への変換ではなく、もっと複雑な重積分(二変数、三変数の多重積分など)の変数変換では、ヤコビアンを使った方が間違いないでしょう。
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この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございました! 参考にさせていただきます^^

お礼日時:2009/05/20 17:00

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Q座標変換する必要性

抽象的で分かりにくいかもしれませんが、
数学で座標変換する必要がある場合とはどんな時でしょうか??
1次元から2次元の軌道を考える場合、座標変換する必要はあるのでしょうか?
数学で座標変換する意味をお教え下さい。お願いいたします。

Aベストアンサー

>数学で座標変換する必要がある場合とはどんな時でしょうか??
計算を簡単にする目的以外にも座標変換の下で不変な分類を求めることが数学的理論を作る上で重要だと思います

Q∬1/√(x^2+y^2)dxdyの追加の質問です

何度もすいません。この問題なのですが、 D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}での積分をするにあたって極座標変換をする時、どうして0≦θ<π/4のときがr=1/cosθで、π/4≦θ≦/2のときがr=sinθなのでしょうか。また今まで自分は円形の領域でしか極座標変換はできないものと思っていましたが今回の領域Dは正方形です。こういう場合でも極座標変換は使ってもよろしいのでしょうか。
当たり前のことなのかもしれませんが自分はイメージをつかむことができません。どうか解答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

積分領域D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}を極座標に変換すると、この正方形領域は1つの式で表せないのでDを2つの領域(図のD1とD2)に分割することで領域を極座標で表すことが可能になります。
D=D1+D2
三角領域D1={(x,y)|0≦y≦x≦1}⇔{(r,θ)|r=1/cosθ,0≦θ<π/4}
三角領域D2={(x,y)|0≦y≦x≦1}⇔{(r,θ)|r=1/sinθ,π/4≦θ≦π/2}
ここで
D1の積分境界の極座標線分r=1/cosθ(0≦θ<π/4)は 線分x=1(0≦y≦1)に対応します。
またD2の積分境界の極座標線分r=1/sinθ(π/4≦θ≦π/2)は 線分y=1(0≦x≦1)に対応します。
極座標におけるr=f(θ)(θ1≦θ≦θ)の直線や線分の表現をしっかりマスターしましょう。
そうすれば、積分領域D1では極座標における積分範囲は0≦r≦1/cosθ,0≦θ<π/4となることが分かります。
また、積分領域D2では極座標における積分範囲は0≦r≦1/sinθ,π/≦θ≦π/2となることが分かります。
極座標の直線(線分)の表現に慣れれば、分かることです。

>こういう場合でも極座標変換は使ってもよろしいのでしょうか。
ぜんぜん問題ないですね。面積素で考えて積分領域を全部覆っていれば、積分領域の形が円形領域に限定する必要はないですね。ただ円形領域だと積分が簡単なので、極座標の積分問題が円形領域や扇形領域の問題が多く出題されているに過ぎないだけです。

積分領域D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}を極座標に変換すると、この正方形領域は1つの式で表せないのでDを2つの領域(図のD1とD2)に分割することで領域を極座標で表すことが可能になります。
D=D1+D2
三角領域D1={(x,y)|0≦y≦x≦1}⇔{(r,θ)|r=1/cosθ,0≦θ<π/4}
三角領域D2={(x,y)|0≦y≦x≦1}⇔{(r,θ)|r=1/sinθ,π/4≦θ≦π/2}
ここで
D1の積分境界の極座標線分r=1/cosθ(0≦θ<π/4)は 線分x=1(0≦y≦1)に対応します。
またD2の積分境界の極座標線分r=1/sinθ(π/4≦θ≦π/2)は 線分y=1(0≦x≦1)に対応します。
極座標におけるr=f(θ)(θ1≦θ≦θ...続きを読む

Q演算子と座標変換

まだ初歩の初歩なのですが、よろしくおねがいします。演算子Aも座標変換Tも行列で表しますが、なぜ演算子行列と座標変換行列はベクトルへの作用の仕方が違うんでしょうか?
 演算子はAX=X'という風にベクトルXに作用しますが、座標変換はなぜわざわざX'=T(転置)Xと表すんでしょう?TをTX=X'と定義しなおせば問題ないと思うのですが。

Aベストアンサー

 「座標変換はなぜわざわざX'=T(転置)Xと表すんでしょう」の意味がわかりませんので、適切な回答ができませんが(Tを転置しなければならないのなら、そもそものTは何なのでしょう)、演算子と座標変換との間には、密接な関係があります。
 運動量演算子Pxから、exp(iaPx/h')という演算子を作ると(iは虚数単位、aはパラメータ、h'はプランク定数h/2π)、x方向へaだけ座標系を平行移動させる座標変換になります。同様に、角運動量演算子Mxから、exp(iθMx/h')という演算子を作ると、x軸の周りにθだけ座標系を回転させる座標変換になります。
 exp(iaPx/h')を無限の多項式に展開すれば明らかなように、作用するのは演算子Pxであり、座標変換も演算子も同じように作用をします。

Q∬sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのですが、上記二者は全く同じ問題ではないので、こことは別なあるご相談サイトで前者の問題
∬_S sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1・・・・・について質問したところ、次のような回答がありました。

その回答の抜粋;”私も積分値が何なのかは知りませんが、積分領域の S の面積がπ/4 で、sin(x+y)≦1 なので積分値はπ/4 以下になります。”
あとで気づいたのですが、この記述は、
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の答えと矛盾するような気がしますが、どうでしょうか?
当方独学の部分が多いため、わからなくなって困っております。宜しくお願い致します。

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのです...続きを読む

Aベストアンサー

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28integrate%28sin%28x%2By%29%2Cy%2C0%2Csqrt%281-x%5E2%29%29%2Cx%2C0%2C1%29
integrate(integrate(sin(x+y),y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)

参考URL:http://homepage3.nifty.com/gakuyu/suti/sekibun/gauss-int.html

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i...続きを読む

Q座標変換について

アフィン変換などの座標変換で、「線分を座標変換するときに線分上のすべての点ではなく、両端点のみを変換すれば正しい」という数学的な証明がわかりません。
どうかどうか教えていただけないでしょうか??

Aベストアンサー

線分AB上の点Pを,A,B,Pの位置ベクトルa,b,pと媒介変数tかなんかを使って

p = a + t(b-a), (0 <= t <=1)

とおいて,tを含んだままpを変換してみてはどうですか?
きっと,A,B,Pの変換先A',B',P'の位置ベクトルa',b',p'の間に

p' = a' + s(b'-a'), (0 <= s <=1)

という関係があります.
これが示せれば,両端点のみ変換すればいいことになりますよね.

Q∬1/√(x^2+y^2)dxdy を求めよ。

∬1/√(x^2+y^2)dxdy を求めよ。
積分範囲は、1=<x^2+y^2=<4,x>=1,y>=0
次のようにやってみました。
∫[1->2]{∫[0->√(4-x^2)]1/√(x^2+y^2)dy}dx
=∫[1->2]{log(y+√(y^2+x^2)}[0->√(4-x^2)]dx
=∫[1->2]{log(√(4-x^2)+2)-logx)dx
となりました。ここからxについての積分ができません。
アドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

このような形の積分は極座標変換するのが一般的かと思います。

D={(x,y)|1≦x^2+y^2≦4,0≦x,0≦y}.

x=rsin(θ).
y=rcos(θ).

この変数変換のヤコビアンは、r。

dxdy=rdrdθ.
積分領域DはE={(r,θ)|1≦r≦2,0≦θ≦π/4}に変わる。

∬[D]dxdy/(x^2+y^2)
=∬[E]drdθ/r
=∫[0,π/4]dθ∫[1,2]dr/r}
=πlog(2)/4.

Q応力と表面力の違い、また座標変換の違い

応力と表面力の違いがいまいち、わかりません。またある点の表面力を応力から求めるときに一度座標変換をするのはわかるのですが、応力を別の座標の応力へ変換するとき、二度の座標変換するのはなぜなのか、これは応力と表面力の違いに起因してるのでしょうか。

Aベストアンサー

表面力は1つのベクトルで表現でき(張力はどの方向も同じ)、応力はせん断と垂直応力の2つの基底で表現されるからだと思います。

前者は1つのベクトルを座標変換すればいいので1回。後者は2つのベクトルなので2回。その表現が行列演算でなぜL^T*A*Lとなるかまでは私も理解出来ていませんが…。

Qヤコビアン、dxdy=|J|drdθ=rdrdθの図の意味

直交座標(x,y)から極座標(r,θ)に変数変換したとき、
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
となります。
図では、
http://www2.ezbbs.net/07/dslender/img/1202739784_1.GIF
となるようですが、
この図でどうして、
dxdy=rdrdθ
と言えるのでしょうか?

Aベストアンサー

 ヤコビアンの公式の導出の話というより、直感的・視覚的に納得したいという話だと思います。

 ご質問のURLにあるようにr>0, π/2>θ>0のところで図を描いてみましょう。直交座標系上で
点A: (x,y)=(r cosθ, r sinθ)
点B: ((r+dr)cosθ, (r+dr) sinθ)
点C: ((r+dr)cos(θ+dθ), (r+dr) sin(θ+dθ))
点D: (r cos(θ+dθ), r sin(θ+dθ))
をプロットしますとナナメの長方形(っぽい)ものになる。でもdr, dθがうんと小さいんで、これは長方形である。この長方形ABCDの面積Sを計算したい。丁寧にこつこつやれば出来ますよ。

 さて、点B: ((r+dr)cosθ, (r+dr) sinθ)というのは、「rをdrだけ増やした時、xとyがそれぞれ幾らになったか」を表す点です。すなわち点Bとは、(x+(∂x/∂r)dr, y+(∂y/∂r)dr)に他ならない。
 そこで「rをdrだけ増やした時、xはどう変化するか」だけを考えると、
点E:(x+(∂x/∂r)dr, y)
がプロットできるでしょ。辺AEはx軸に平行で、長さが(∂x/∂r)drである。さらに、辺EBはy軸に平行で、長さが(∂y/∂r)drであり、この長さは「rをdrだけ増やした時、yはどれだけ増えるか」を表しています。
 同様にして、「θをdθだけ増やした時、xはどう変化するか」と考えると、
点F:(x+(∂x/∂θ)dθ,y)
がプロットできます。ただし(∂x/∂θ)dθは負ですね。辺AFはx軸に平行で、長さが-(∂x/∂θ)dθである。さらに、辺FDはy軸に平行で長さが(∂y/∂θ)dθであって、この長さは「θをdθだけ増やした時、yはどれだけ増えるか」を表している。

 すると台形EBDFの面積は((EB+FD)EF)/2
=((∂y/∂r)dr+(∂y/∂θ)dθ)((∂x/∂r)dr-(∂x/∂θ)dθ)/2
また、
直角三角形ABEの面積は(EB)(AE)/2=(∂y/∂r)(∂x/∂r)(dr dr)/2
直角三角形ADFの面積は(FD)(AF)/2=(∂y/∂θ)(-∂x/∂θ)(dθ dθ)/2
と表せます。これらを使って△ABDの面積が計算できますね。長方形ABCDの面積Sは△ABDの面積の2倍なので、
S=((∂y/∂r)dr+(∂y/∂θ)dθ)((∂x/∂r)dr-(∂x/∂θ)dθ)-(∂y/∂r)(∂x/∂r)(dr dr)-(∂y/∂θ)(-∂x/∂θ)(dθ dθ)
=(∂y/∂θ)(∂x/∂r)drdθ-(∂y/∂r)(∂x/∂θ)drdθ
=((∂y/∂θ)(∂x/∂r)-(∂y/∂r)(∂x/∂θ))drdθ
です。そして、
∂x/∂r=cosθ
∂y/∂r=sinθ
∂x/∂θ=-r sinθ=-y
∂y/∂θ=r cosθ=x
より
S=(x cosθ+ysinθ)drdθ=rdrdθ
です。

 ヤコビアンの公式の導出の話というより、直感的・視覚的に納得したいという話だと思います。

 ご質問のURLにあるようにr>0, π/2>θ>0のところで図を描いてみましょう。直交座標系上で
点A: (x,y)=(r cosθ, r sinθ)
点B: ((r+dr)cosθ, (r+dr) sinθ)
点C: ((r+dr)cos(θ+dθ), (r+dr) sin(θ+dθ))
点D: (r cos(θ+dθ), r sin(θ+dθ))
をプロットしますとナナメの長方形(っぽい)ものになる。でもdr, dθがうんと小さいんで、これは長方形である。この長方形ABCDの面積Sを計算したい。丁寧にこつこつやれば出来...続きを読む

Q座標変換について

座標変換について 回転座標変換を表す行列を
R=(R_ij)
と書く事にします。
v_i'=Σ【j=1→3】R_ijv_j
のように変換されるものとします。
ここで、

(1)
『座標変換で矢印(ベクトル)そのものは変わらないから、内積は回転しても変わらない』
とはどういうことですか?

(2)『そこで、任意のベクトル↑u,↑vに対して
Σ【i=1→3】u_i'v_i'=Σ【i,j,k=1→3】R_ijR_iku_jv_k=Σ【i=1→3】u_iv_i
が成り立たなければならない。このためには
Σ【i=1→3】R_ijR_ik=δ_jk
となっていることが必要十分である。』
などと書いてありましたが、この理由がわかりません。

Aベストアンサー

内積を定義するには、いくつかやり方がある。

高校の教科書では、標準座標の上で
(u・v) = Σ ui vi と定義するが、
この方法は、座標変換で式形が変わってしまう。

線形代数の教科書では、
線型空間上の双線型関数として定義するのが普通。

そうすると、
線型空間に基底 { ei } を置いた際、
u = Σ ui ei, v = Σ vi ei より
(u・v) = ΣΣ ui vj (ei・ej) となって、
(ei・ej) を i 行 j 列成分とする行列 G を使い
(u・v) = (vの転置)Gu と行列積で表せる。
G は、基底の置き方によって変わり、
単位行列とは限らない。

u, v を座標変換すると、それに伴い
G の成分も座標変換を受ける。
u' = Au, v' = Av であれば、
(u'・v') = (v'の転置)G'u'
= ((Av)の転置)G'Au
= (vの転置)((Aの転置)G'A)u.
内積の値はスカラーだから、座標変換で変化を受けず、 …[*1]
(u'・v') = (u・v) = (vの転置)Gu. 
両者を係数比較すると、G = (Aの転置)G'A と判る。 …[*2]
A が正則であれば、G' = (A^-1の転置)G(A^-1).
これが、内積の座標変換である。

(1) の『座標変換で内積は変わらない』という表現は、
[*1] のように「値が変わらない」という意味で
言っているのなら正しいが、
(2) の『そこで』のように G' = G という意味で
使うのは、間違っている。
Σ u'i v'i = Σ ui vi は結果的に成立する式ではあるが、
質問文中の証明方針で、成立する理由が示せたとは言えない。

私なら、回転は正規直交基底を正規直交基底ヘ移すから、
G = (ei・ej) が単位行列であれば
G' = (e'i・e'j) も単位行列になる…と説明する。
その上で、[*2] から E = (Aの転置)EA を言えばよい。
G = E となるような座標系が存在することは、
また別に示さねばならないが…

内積を定義するには、いくつかやり方がある。

高校の教科書では、標準座標の上で
(u・v) = Σ ui vi と定義するが、
この方法は、座標変換で式形が変わってしまう。

線形代数の教科書では、
線型空間上の双線型関数として定義するのが普通。

そうすると、
線型空間に基底 { ei } を置いた際、
u = Σ ui ei, v = Σ vi ei より
(u・v) = ΣΣ ui vj (ei・ej) となって、
(ei・ej) を i 行 j 列成分とする行列 G を使い
(u・v) = (vの転置)Gu と行列積で表せる。
G は、基底の置き方によって変わり、
単位行列とは限...続きを読む

Q∬1/√(x^2+y^2) dxdy

∬1/√(x^2+y^2) dxdy D:0≦x≦y≦1 
重積分する問題です。

y=xsinθで置換して考えると
∬1/cosθ dθdxとなります。
これを計算していくととてもややこしくなってしまい、うまく解を求められません。

とても困っていますので解ける方は解き方を教えて頂きたいです。ちなみに答えはlog(1+√2)です。

Aベストアンサー

与式 = ∫[0,1]dy ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2) ですから、

x = y*tanθとおくと
0≦x≦y から、0≦θ≦π/4、dx/dθ = y/(cosθ)^2
√(y^2 + x^2) = √{y^2 + y^2*(tanθ)^2} = y√{(tanθ)^2 + 1} = y/cosθ だから、

∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2)
= ∫[0,π/4]{y/(cosθ)^2}dθ/{y/cosθ}
= ∫[0,π/4]dθ/cosθ

と、質問者さんの挙げられた式がでてきますが、y=x*sinθって、タイプミス?

ここで、cosθを、分子・分母にかけると、
∫[0,π/4]dθ/cosθ= ∫[0,π/4]cosθdθ/(cosθ)^2

sinθ = t とおくと、tの範囲は、0~1/√2、
dt/dθ = cosθより、dt = cosθdθ
(cosθ)^2 = 1 - (sinθ)^2 = 1 - t^2 なので、
∫[0,π/4]cosθdθ/(cosθ)^2
= ∫[0,1/√2]dt/(1-t^2) = ∫[0,1/√2]dt/(1-t)(1+t)
= ∫[0,1/√2](1/2){1/(1-t) + 1/(1+t)}dt
= (1/2)[-log(1-t) + log(1+t]_[0,1/√2]
= (1/2)[log{(1+t)/(1-t)]_[0,1/√2]

ここで、(1 + 1/√2)/(1 - 1/√2) = (√2 + 1)/(√2 - 1) = (√2+1)^2 なので、
(1/2)[log{(1+t)/(1-t)]_[0,1/√2] = log(√2 + 1)

よって、∫[0,1]dy ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2)
= ∫[0,1]dy ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2)
= log(√2 + 1) * [y]_[0,1] = log(√2 + 1)

となります。

高校生向きに、丁寧に書いたので、手順長めですが、大学生なら、あちこち端折れるはず、
がんばってください。

与式 = ∫[0,1]dy ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2) ですから、

x = y*tanθとおくと
0≦x≦y から、0≦θ≦π/4、dx/dθ = y/(cosθ)^2
√(y^2 + x^2) = √{y^2 + y^2*(tanθ)^2} = y√{(tanθ)^2 + 1} = y/cosθ だから、

∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2)
= ∫[0,π/4]{y/(cosθ)^2}dθ/{y/cosθ}
= ∫[0,π/4]dθ/cosθ

と、質問者さんの挙げられた式がでてきますが、y=x*sinθって、タイプミス?

ここで、cosθを、分子・分母にかけると、
∫[0,π/4]dθ/cosθ= ∫[0,π/4]cosθdθ/(cosθ)^2

sinθ = t とおくと、tの範囲は、0~1/√2、
dt/dθ = cosθより、dt ...続きを読む


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