どうして∬dxdy=∬drdθかけるrなのでしょうか
なぜrをかけるのかわかりません どうやら行列をつかったりする必要があるらしいのですがちょっとわかりずらいです  わかりやすく教えてもらえないでしょうか?

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A 回答 (1件)

■各座標系の面積素(微小な面積を表す成分要素)dSがどう表されるかを考えて見てください。


直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
dS=dxdy
ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向(円弧方向)の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ
となります。
なので
∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
となるのです。

●数式で扱う場合はヤコビ行列を使って座標変換ができます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0% …
この中の円座標の所が二次元の極座標のヤコビアン|J|の計算で
|J|=rが出てきますのでこれを使って変数変換
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
をします。
実際の計算は
x=rcosθ,y=rsinθ
から
ヤコビ行列Jを求めて
J=
(∂x/∂r,∂x/∂θ)
(∂y/∂r,∂y/∂θ)
=
(cosθ,-rsinθ)
(sinθ,rcosθ)
これからヤコビアン|J|を求めれば
|J|=
|cosθ,-rsinθ|
|sinθ, rcosθ|
=r(cos^2θ+sin^2θ)=r
となりますので機械的に
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
と変数変換すればいいことになります。

■で考えるか、●で考えるかは自由です。

直感的には面積素で考える■の方が覚えやすいかと思います。
XY座標から極座標への変換ではなく、もっと複雑な重積分(二変数、三変数の多重積分など)の変数変換では、ヤコビアンを使った方が間違いないでしょう。
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    • 0
この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございました! 参考にさせていただきます^^

お礼日時:2009/05/20 17:00

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Q極座標による重積分の範囲の取りかた

∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy  D:(x^2 + y^2 <= π^2)
を極座標でに変換して求めよ。

という問題で、

x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、
rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。


x^2+y^2
= (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2
= r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2}
= r^2< = π^2

とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか?
rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

Dは原点中心の半径πの円盤なので、
0≦r≦π、0≦θ<2πです。(-π<θ≦πでもよいです。
等号もどっちにつけても良いです)

ちなみに極座標ではr≧0です。

極座標は原点からの距離rと、x軸とのなす角θを使った点の表示
方法です。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q重積分について教えてください。

重積分の回答を教えてください。

次の重積分を極座標変換にて求めよ。また、積分の領域を図示せよ。

1、∬D(-x^2-y^2+1)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1}
2、∬D(1/(x^2+y^2+2))dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1,x>=0,y>=0}

お手数ですが、回答と積分領域の図をお願いいたします。

Aベストアンサー

1
積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部(円の境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,-π≦θ≦π}
∬_D (-x^2-y^2+1)dxdy
=∬_E (1-r^2)|J|drdθ
=∫[-π,π]dθ∫[0,1](1-r^2)rdr
=2π∫[0,1](r-r^3)dr

あとは高校の基礎的な積分なのでご自分でやってください。

=π/2


積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部で第一象限の部分「1/4円」(境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2}
∬_D 1/(x^2+y^2+2)dxdy
=∬_E 1/(r^2+2)|J|drdθ
=∫[0,π/2]dθ∫[0,1] 1/(r^2+2) rdr
=(π/2)∫[0,1](1/2)(r^2)'/(r^2+2)dr

あとは合成関数の積分公式を適用するだけなのでご自分でやってください。

=(π/4)ln(3/2)

1
積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部(円の境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,-π≦θ≦π}
∬_D (-x^2-y^2+1)dxdy
=∬_E (1-r^2)|J|drdθ
=∫[-π,π]dθ∫[0,1](1-r^2)rdr
=2π∫[0,1](r-r^3)dr

あとは高校の基礎的な積分なのでご自分でやってください。

=π/2


積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部で第一象限の部分「1/4円」(境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)...続きを読む

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Q極座標の重積分の範囲について

∬√x dxdyを D:y>=0,x^2+y^2<=2x の範囲で解け、という問題があります。
範囲Dについては、(x-1)^2+y^2<=1と変形されることはすぐにわかったのですが、果たしてこの範囲は、通常の中心が原点の円と考えて積分可能なのでしょうか?
極座標に変換しても、0<=θ<=πまでで、rをどのように範囲をとったらよいのかよくわかりません。
さらに、この問題は極座標に変換しても√rcos(θ)が積分の中に出てきます。いくらがんばっても√cos(θ)の積分が求まりませんでした。
はたしてどのようにとけばよいのでしょうか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

皆さんの色々なアイデアをまとめさせていただき、できるだけ簡単に積分を行うことすると以下のようにすればいいかと思います。質問者さんにも分かりやすく高度なテクニックも使わなくて良いかと思います。

∬[D]√x dxdy=∫[x:0→1]√x dx∫[y:0→√{1-(1-x)^2}]dy
=∫[x:0→2]√x√{1-(1-x)^2}dx
(x-1=X, x=X+1と変数変換)
=∫[X:-1→1]√(1+X)√(1-X^2)dX
=∫[X:-1→1](1+X)√(1-X)dX
(t=√(1-X), X=1-t^2 と変数変換)
=∫[t:√2→0](2-t^2)t(-2t)dt
=2∫[t:√2→0](t^4 -2t^2)tdt
=2[t^5)/5 -(2/3)t^3][t:√2→0]
=(16√2)/15

質問者さんも今一度計算の流れを追ってみてください。
#6さんの先にyの積分をするというアイディアはいいですね。

Q楕円の変数変換

楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Q2重積分を極座標を利用して求めよ

∬[D]log√(x^2+y^2)dxdy D: 1≦x^2+y^2≦4, x≧0, y≧0

詳しい解説お願いします。

x=rcosθ, y=rsinθ と置いた時のrとθの範囲がわかりません。

Aベストアンサー

x=rcosθ, y=rsinθで置換積分すると
D ⇒ {1≦r≦2,0≦θ≦π/2}


∬[D]log(√(x^2+y^2))dxdy
=∬{1≦r≦2,0≦θ≦π/2} log(r) rdrdθ
=∫[θ:0,π/2] dθ*∫[1,2] rlog(r) dr
=(π/2)∫[1,2] rlog(r) dr
部分積分して
=(π/2){[(r^2/2)log(r)][1,2]-∫[1,2](r^2/2)(1/r)dr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)∫[1,2] rdr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)[r^2/2][1,2]}
=(π/2){2log(2)-(1/2)(2-(1/2))}
=πlog(2)-(3/8)π


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