∫xe2x乗dxで下端が1で上端が2の定積分を計算する問題がどのようにして計算するかがわかりません。似たような問題をみて計算してみたんですが1/2e4乗になってしまいます。何か公式を使うのでしょうか?解き方を教えて下さいm(__)m

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

部分積分するだけ


∫xe^(2x)dx=[xe^(2x)/2]_[x=1,2] -∫[1,2]e^(2x)/2dx
=(e^4)-((e^2)/2)-(1/4)[e^(2x)]_[x=1,2]
=(e^4)-((e^2)/2)-(1/4){(e^4)-e^2}}
={3(e^4)-e^2}/4
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございますm(__)m

お礼日時:2009/05/25 18:56

部分積分を使います。


∫f(x)g(x)'dx=f(x)g(x)-∫f(x)'g(x)dx
において
 f(x)=x, g(x)'=exp(2x)
とすると
∫xexp(2x)dx=[xexp(2x)/2](1→2)-∫exp(2x)dx
QED
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございますm(__)m

お礼日時:2009/05/25 18:57

このQ&Aに関連する人気のQ&A

積分 e^x^2」に関するQ&A: e^-2xの積分

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q微分方程式yy´=xe^(x^2+y^2)

微分方程式初心者です。
解けているとは思うのですが、教科書に解答がないため自信が持てません…orz

問題がないか確認をお願い致します。

yy´=xe^(x^2+y^2)
yy´=xe^(x^2)e^(y^2)
yy´e^(-y^2)=xe^(x^2)

ye^(-y^2) dy/dx = xe^(x^2)
ye^(-y^2) dy = xe^(x^2) dx
∫ye^(-y^2) dy = ∫xe^(x^2) dx

これを解きまして、
-(1/2)e^(-y^2)+C1 = (1/2)e^(x^2)+C2  (Cは積分定数)

で、正解でしょうか?

Aベストアンサー

>-(1/2)e^(-y^2)+C1 = (1/2)e^(x^2)+C2

結果をもう少し整理した方が良いでしょう。

移項して2倍し、積分定数を「C=2(C1-C2)」と置き直して
e^(x^2)+e^(-y^2)=C (Cは積分定数)

または、e^(y^2)を掛けて
e^(x^2+y^2)+1=Ce^(y^2) (Cは積分定数)

Q∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dxという定積分の性質の証明について

aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。

不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学1」(三村征雄、岩波全書)です。

この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の場合は容易ですが、α≦0のときにはsup(-f(x))=-inff(x)であることを示してからひとつの補題を証明し、その後に上の証明に取り掛かっています。これによると、この定理は、どうも「容易なので省略する」とはいえないような気がします。

そこでお尋ねですが、
1 αの場合分けをしないなどして、定積分の定義から容易に、それこそ2,3行ぐらいで証明する手法はありますか?
(ただし、f(x)が連続関数であるときの定理∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)(F(x)はf(x)の原始関数)というルートは使わないものとします。)

2 もし、容易でないにもかかわらず証明を省略する場合は紙数の都合によるのでしょうか?

3 初学者には容易ではないのに、著者がそう判断してしまっているということはありえますか?

以上、よろしくお願いいたします。

aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。

不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学1」(三村征雄、岩波全書)です。

この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の...続きを読む

Aベストアンサー

細かい議論までは、追っていませんが、リーマン積分の定義が分かっていれば、「自明」じゃないですかね。
リーマン積分というのは、上積分の下限と下積分の上限が一致する時に、この値を∫(a,b)f(x)dxのように書くという感じで定義されてましたよね。(ちゃんとした定義は教科書を見てください)

∫(a,b)αf(x)dxというものを考えたとしても、上限や下限の値がα倍されるだけですので、両者が一致する事に代わりはないし、値自体もα倍される、つまり、α∫(a,b)f(x)dxに等しくなりますよね。(αが負の場合には、負の数を掛けたのだから上限と下限がひっくり返る、みたいな微妙な違いはありますが、何かが大きく変わる訳ではない)

Qf(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求

f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください

fxxから本当に分からないので教えてください

回答よろしくお願いします

Aベストアンサー

積の微分の公式 (uv)’=u’v + uv’ を繰り返し使います。

E=e^(xy+2y^2)
とおくと
f=xE
Ex=yE
Ey=(x+4y)E

fx
=E+xEx
=(1+xy)E

fxx
=yE+(1+xy)Ex
=yE+(1+xy)yE
=y(2+xy)E

fxy
=xE+(1+xy)Ey
=xE+(1+xy)(x+4y)E
={x+(1+xy)(x+4y)}E

fy
=xEy
=x(x+4y)E

fyy
=x・4・E+x(x+4y)Ey
=4xE+x(x+4y)^2E
=x{4+(x+4y)^2}E

Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

...続きを読む

Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))←これは、あらゆる分割Δに対するsup
という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
s(f,Δ1)、s(g,Δ2)それぞれであらゆる分割を考えて、
sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))

infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i...続きを読む

Q対称式xe^y+ye^xをs=x+y,t=xyで表すことができるか?

普通、対称式とは多項式で考えますが、いま、例えば、
xe^y+ye^x、
x^2log(1+y) + y^2log(1+x)
といったものを考えます。
それらを一般に、s=x+y,t=xy を用いて、いわば無限次数の多項式として表すことはできるのでしょうか?

収束は適度な範囲で考えるものとします。

Aベストアンサー

それって結局のところ「簡潔に書けるものは簡潔に書けるし, そうでないものはそれなりに書ける」というだけのような気がするんですが.
例えば, (1+x+x^2+...) + (1+y+y^2+...) = 1/(1-x) + 1/(1-y)
1/(1-x) + 1/(1-y) = (2-x-y)/(1-x-y+xy) = (2-s)/(1-s+t)
としてから s, t の級数に変形してますけど, 本来はもとの形から
(1+x+x^2+...) + (1+y+y^2+...) = 2 + (x+y) + (x^2+y^2) + (x^3+y^3) + ...
= 2 + s + (s^2-2t) + (s^3 - 3st) + ...
= ...
と処理するのが筋ではないですかね. とはいえ, この結果の式もあまり「簡潔」と言えないと思うんだけど.

Q∫{(g(x)+h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx は必ずなりたつ?

∫{(g(x)+h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx は必ずなりたつ?

高校数学の範囲としてお聞きします。

∫{(g(x)+h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx は必ずなりたちますか?

また、その理由もお教えください。(なんとなく感覚的には成り立つように思えるのですが、実感(というか理解)できてないです)

以上、お手数をおかけして恐縮ではございますが、よろしくお願い申し上げます。

Aベストアンサー

文字通りの意味ですけれど.
左から右へ行こうとしても, g(x) と h(x) に関して, 有界性すら保証されていないわけですよね.

Q数Ⅲで質問があります。 y=xe^-x のグラフで、(α,0)からこの曲線に2本の接線が引けるαの

数Ⅲで質問があります。

y=xe^-x
のグラフで、(α,0)からこの曲線に2本の接線が引けるαの範囲を求めよ。

という問題で画像のような解答だったのですが、接点のx座標を移動させて求めているのがよくわかりません。

どなたか教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

変曲点が x=2 のところにあり、それ以下の「上に凸」の部分と、それ以上「下に凸」の部分がある曲線に対して、x 軸上から接線が2本引ける範囲を問われています。

 ですから、曲線上で点を動かして、そこを接点とする接線がx軸とどこで交わるか(それが α )を調べるのは、極めてまっとうな解き方です。(確かに、お示しの解説の書き方は、なんか分かりづらいですが)
 そのときに、同一の「α」が曲線上の異なる2点で存在すればよいわけです。

 当然、「α」の方を動かして、曲線に対して2つの接線が引けるかどうかを調べてもよいです。

 ここでは、解答どおり「曲線上を動かす」やり方で解説します。
 つまり、曲線上の点を x : ∞ → -∞ で移動させて、

(1)曲線上の x:∞ → 2 の点からは、x 軸と ∞~4 (これが α )で交わる接線が引ける。
(2)曲線上の x:2 → 1 の点からは、(1)とは別に、x 軸と 4~∞ (これが α )で交わる接線が引ける。
 →以上から、4<α であれば、曲線上の 2<x と 1<x<2 の2点に接線が引ける。

(3)曲線上の x:1 → 0 の点からは、x 軸と -∞~0 (これが α )で交わる接線が引ける。
(4)曲線上の x:0 → -∞ の点からは、(3)とは別に、x 軸と 0~-∞ (これが α )で交わる接線が引ける。
 →以上から、α<0 であれば、曲線上の 0<x<1 とx<0 の2点に接線が引ける。

ということです。

(補足)
 α<0 の (α, 0) から、曲線の 0<x<1 の部分に接線が引けるのは見てわかりますが、曲線の x<0 の部分に接線が引けるのか、というのはちょっと迷います。

 試しに引いてみると、A>0 として、α = -A とすると、(-A, 0) から曲線に接線を引くことになります。その接点の x 座標を -B (B>0) とすると、y 座標は -Be^(B)。
 接線の傾きは
  y' = e^(-x) - xe^(-x)
より
  e^(B) + Be^(B)
よって接線の方程式は
  y = [ e^(B) + Be^(B) ]x + C
これが (-A, 0) を通るので
  0 = -A[ e^(B) + Be^(B) ] + C
よって
  C = A[ e^(B) + Be^(B) ]
接線の方程式は
  y = [ e^(B) + Be^(B) ]x + A[ e^(B) + Be^(B) ]
となって確かに引けます。

 この接線は、当然接点 (-B, -Be^(B)) を通るので
  -Be^(B) = -[ e^(B) + Be^(B) ]B + A[ e^(B) + Be^(B) ]
よって
  A = [ -Be^(B) + Be^(B) + B^2e^(B) ] / [ e^(B) + Be^(B) ]
   = B^2e^(B) / [ e^(B) (1 + B) ]
   = B^2 / (1 + B)
という A と B の関係です。

変曲点が x=2 のところにあり、それ以下の「上に凸」の部分と、それ以上「下に凸」の部分がある曲線に対して、x 軸上から接線が2本引ける範囲を問われています。

 ですから、曲線上で点を動かして、そこを接点とする接線がx軸とどこで交わるか(それが α )を調べるのは、極めてまっとうな解き方です。(確かに、お示しの解説の書き方は、なんか分かりづらいですが)
 そのときに、同一の「α」が曲線上の異なる2点で存在すればよいわけです。

 当然、「α」の方を動かして、曲線に対して2つの接線が引ける...続きを読む

Q∫xe^-x^2dx

∫xe^-x^2dx

が0から1の時
答えが1/2(1-1/e)になるのですが
それまでの計算がわかりません
教えてください

Aベストアンサー

∫[0,1}xe^(-x^2)dx=∫[0,1}(-1/2)(-x^2)'*e^(-x^2)dx
=-(1/2)∫[0,1]{e^(-x^2)}'dx
=-(1/2)[e^(-x^2)] [0,1]
=-(1/2){e^(-1)-e^0}=(1/2){1-(1/e)}

Qf(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求

f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください
特にfxxからまったく分からないので教えてください

回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

f から fx を求めるのも、
fx から fxx を求めるのも、
x で偏微分するのは同じことだし、
式の形も似たようなものだが、
何故、fx は解って、fxx から解らないのか?
そこが判らないと、適切な回答にはならない
と思う。
なんで fxx が解らないのが、どこで詰まったのか、
質問者自身が自分の言葉で説明することが必要だ。

Q定積分∫[1/√3→1]√(1-x^2)dx が解けません。

∫[1/√3→1]√(1-x^2)dx を解く問題なのですが、公式に当てはめて、
∫√(1-x^2)dx = 1/2*(x√(1-x^2)+arcsinx)
これに積分範囲の[1/√3→1]を代入したのですが、arcsin(1/√3)が計算できませんでした。
答えは (π-2)/6 となるみたいなのですが、電卓等を使わずに計算できるのでしょうか。どなたか教えてください。

Aベストアンサー

I=∫[a→1]√(1-x^2)dx

これは中心が原点にある、半径1の半円のx=aからx=1までの部分の面積です。
扇形の面積から直角三角形の面積を引けば出てきます。
π/6は60°の扇形の面積です。
この場合のaの値は1/2です。
I=π/6-√3/8
になるはずです。
π/6が出てくるのはこの時だけだと思います。


人気Q&Aランキング