数学(物理？)の問題を訳してください

Suppose that a flashlight show in your face and then was moved away at a constant rate of 2 feet per second. It is fact that the rate at which the intensity, I, of the light decreases is inversely proportional to cube of the distance, R, from the source of the light times the rate at which the distance increases. When the light is 10 feet from your face, the intensity is changing by 5 lumens per second. When the light is 10 feet from your face, the intensity is changing by 5 lumens per second.

よろしくお願いします。

No.8 ベストアンサー 回答者： noname#11476 回答日時： 2003/03/21 20:06

∫dI = -k∫(t=0→22){R^(-3)*dR}

の定積分ですから、
I=(2500/2)R^(-2)|(0→22)
までは良いですね。これは、
I(t) |t=0→22 =(2500/2)R(t)^(-2)|(0→22)
ということですね。

さて、R(t)の形は、一定速度で遠ざかっているのですから、t=0をR=0とすれば、

R(t) = (dR/dt) * t

で表せますね。ここにtがいるわけです。この式は、
dR/dt = const
を積分して求めるわけです。（const = dR/dt にご注意下さい)

このR(t)をI(t)の式に代入すれば良いわけです。

では。

No.7 回答者： noname#11476 回答日時： 2003/03/20 21:53

なるほど、そういう問題になっていたわけですね。

つまり私の式で言えば、 F * a = k と置いてしまって kを求めてしまうと言うことですね。
これは数学の問題ということですね。初めは物理？となっていたので少し考えてしまったのですが、照明関係の知識は全くなくても解けるというわけですね。
（問題の比例、反比例の表記は良くないと思いますが）

一つ気を付けないと行けないのは、私も付け忘れましたが、
dI/dt = - K * (1/R^3) dR/dt
とマイナスを忘れずに。（decreasing ですから符号は-ですね)

b)も簡単ですね？
k, dI/dt, dR/dt はわかっているから代入してRを求めるだけなので。

c) 22秒後の Iを聞いていますので、

dI/dt = - K * (1/R^3) dR/dt

をt=0, 22 で積分すればＯＫですね。
私の先の回答でこの微分方程式を、照度の関係式を「微分」して出しましたので、その逆をするわけですからこの式の積分は簡単ですね。

d)この問題では、t=0, x と置いた定積分をすれば、xの式が出ますので、I = 1 の時の xを求めれば良いわけですね。

こんな物でよろしいでしょうか。

この回答への補足

ありがとうございます！

ところで、C）なのですが、
うまく積分できません。というのは、両辺に
dtがあるので、それがなくなってしまうではないですか？
私が求めた答えは
∫dI = -k∫(t=0→0.22){R^(-3)*dR}
そして
I=(-2500/2)R^(-2)|(0→0.22)
となると、tがないので0.22を代入できないということに
気が付いたのです。どうすればよいですか？

Ｒが一定速度で大きくなる場合、Ｒは時間の関数となりますので、
Ｅも時間の関数となり、、、

ということは、
Iにそのまま(0→0.22)を代入してしまっても良いということですか？

補足日時：2003/03/21 02:19

この回答へのお礼

おっと！勘違いしていました。
0.22ではなくて22でいいのですね？

お礼日時：2003/03/21 02:30

No.6 回答者： noname#11476 回答日時： 2003/03/20 02:37

7upさん。

そうなんですよ。
照明系の単位関係はややこしいのでわかりにくいかと思います。

私が問題としているのは、普通ルーメンlmという単位は光源から出る光の量を表す物ですから、このままだと光源が顔から離れていってもその大きさは変化しないと言うことなんです。

対して照度Ｅとの関係は、Ｆルーメンの光が面積Ｓに当たると、
Ｅ＝Ｆ／Ｓ [lm/m^2]
と表せます。
このＳは距離が２倍になると面積４倍となる関係にありますから、基準となる距離１ｍで、Ｓ＝１ｍ＾２の時には１ルーメン、１ルックスという定義であること考えると、
Ｅ＝Ｆ／Ｒ＾２
になるのです。（面倒なのでｆｏｏｔではなくＳｉ単位系を使用）
さて、Ｒが一定速度で大きくなる場合、Ｒは時間の関数となりますので、Ｅも時間の関数となり、その変化率rateは微分すれば良いから、
dE/dt = F * dR/dt /R^3
となり、dr/dt(the rate at which the distance increases)に比例し、 R^3 (cube of the distance, R) に反比例するという関係が出てくるのです。

でおそらくですがこの文の中では顔全体に当たっている全光量をルーメンで表しているのだろうと言うことです。
つまり、顔の面積をａとすると、dE/dtにaを掛けた量、
dE/dt * a = a * F * dR/dt / R^3
は単位が lm/sec で要するに顔に当たっている光束の量を表します。

しかしながら、光源の明るさであるＦと顔の面積ａがわからなければ 5 lumens per second という具体的な数値の計算が出来ないので、多分この文章の前に色々そういう話が出てきたのだろうと思ったわけです。

しかし、実は上記以外のストーリーでもあり得そうな話があるのです。
それは観測者から見た光源の輝度の話をしている可能性があるのです。
もちろん輝度自身の単位は lm ではありませんが、上記で照度からルーメンに変換したように、いくらでも変換は考えられるのです。

ということで、質問内容だけではこれ以上はわからないなぁという結論に至たった訳です。

ご質問者も、もう一度お手持ちのプリント（？）全体をみて私の書いていることでご理解できればよいのですか、違っているようならば補足下さい。

この回答への補足

ありがとうございます！
私が問題をきちんと全部書かなかったために
皆さんを混乱させてしまったようです。すみませんでした。

ちなみにa)はできました。(回答No1のお礼のところです)

式は
　dI/dt = K * (1/R^3) dR/dt
が成り立ち、
与えられた文章によると
　dI/dt = 5 lumens/sec
　dR/dt = 2 ft/sec　

これらを代入して、
5 = k * (1/1000)* 2
k = 2500

というように定数を求めるらしいのです。

補足日時：2003/03/20 19:21

No.5 回答者： 7up 回答日時： 2003/03/20 00:07

補足ですが、理化学辞典をみますと、

lumen：光束のSI単位．記号はlm．1cd(カンデラ)の一様な光度の点光源が立体角1sr(ステラジアン)内に発する光束．

照度(英 illuminance)：光に照らされた面上の単位面積あたりの光束をその面の照度という．照度の単位は国際単位系ではルクス(記号lx)である．光束の代わりに放射束を用いたものを放射照度といい，単位はW/m2で表わす．

本文では、intensityをlumenで表していますから、「照度」ではなくて漠然とした「強度」という意味で使っているのだと思います。厳密には「光束」というべきところではないでしょうか。

ちなみに、光束は：
光束[英 luminous flux]
単位時間あたりに伝播される可視光線の量を，標準観測者の視感度に対して生ずる明るさの感覚で評価したもの．放射束との関係は標準観測者の比視感度で与えられ，単位はカンデラ・ステラジアン(cd・sr)で，ルーメン(lm)という．光束は放射束または光線束の意味で使われることもある．

うーむ、わけがわからなくなってきた。

No.4 回答者： 7up 回答日時： 2003/03/19 23:09

光学は良く知りませんが、mickjey2さんのご説明を参考に訳してみました。

あなたの顔に懐中電灯の光があたっていて、その懐中電灯（＝光源）が2ft/secの一定速度で離れていくとします。光の強度Ｉの減衰する速度は、光源からの距離Ｒの３乗に反比例し、距離の増加（＝離れていく速度）に比例します。光源があなたの顔から10ftの位置にある時、光の強度は5lumen/secの速度で変化しています。

ということで、最後の5limen/secは、「光強度が変化しています＝速度」ですからこれでよいと思います。

>inversely proportional to で、その後にtimesと来ていて、

ここはmickjey2さんの解説がなければ私もどういう意味かわかりませんでした。timesは「かける」ですが、そうすると日本語になりにくいので「比例」としました。その他余分な語もいれて補足したつもりですので、直訳にはなっていません。

No.3 回答者： noname#11476 回答日時： 2003/03/19 20:04

補足ですが、この英文あまり書き方がよくないですね。

inversely proportional to で、その後にtimesと来ていて、距離の時間変化にも反比例しているかのように見えてしまいますから。
物理的には私の書いた式の解釈でないといけません。

No.2 回答者： noname#11476 回答日時： 2003/03/19 19:47

ええと、英語の専門家ではなくて「光学」の専門家として答えます。

どのような話で出てきたのかが問題ですね。
一番理解に苦しむのは最後の光の強さが５ｌｍ／ｓｅｃであるという所です。
the intensityを顔にあたっている照度とするならばｌｍ／ｓｅｃでは単位が合いません。

基本的な意味は、

いまあるランプ（ストロボでもなんでもいいです）があって、それがあなたの顔を照らしているとします。
そして、そのランプ（光源）があなたの顔から２feel/secの速度で遠ざかっているとします。
このとき、あなたの顔を照らしている光のintensity Ｉの単位時間あたりの減衰量(ｄＩ／ｄｔ）は、

ｄＩ／ｄｔ＝　＜離れていく速度＞／［＜光源と顔の距離Ｒ＞＾３］

に比例するということを言っています。
いまＲ＝１０feetであれば、減衰率ｄＩ／ｄｔ＝２／１０００＝０．００２ [1/feet^2・sec]となります。

これだけでは最後の文章にある５ｌｍ／ｓｅｃ（ｌｍはルーメン）は出てきませんので、それは他の部分を見れば判るはずです。
もしかすると顔を照らしている光のintensity（通常はルクスlx = lm/m^2で表す）のことではなく、顔にあたっている全光量を指しているか、あるいは遠くなった分見かけ上高原の強さが弱くなったと考えて、その減衰率をいっているのかもしれません。

残念ながらご質問の内容だけでは完全に理解は出来ないです。

No.1 回答者： happy365days 回答日時： 2003/03/19 15:41

閃光があなたの顔にあたっていて、その後２ft/s（２フィート毎秒）で離れていった。

光の強度（I)の減少率は、「光源からの距離（R)の三乗」×「距離の増加率」に反比例する。
光があなたの顔から10ft離れているとき、光の強度の減少率は５lm/s(5ルーメン毎秒）である。

最後の文はダブっているので省略します。ちなみにこれでは問題になってません。
何を出したらいいのかがわからないので。
calculusですか？頑張ってください。
なお、物理（の範囲かは知りませんが）をやったことがないので、intensityが正式に何と言うかは不明です。lumenなら光束だと思うんですが・・・？
怪しい訳でごめんなさい。理解できますか？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
ちなみに、確かにこれでは問題になっていませんね。
このあとに、
a)Set up the differential equation and find the constant of
proportionality,k
b)Use differential equation to find the distance the light is from
your face if the light's intensity is decreasing at 1 lumen per sec.
(This is how we can find the distance from Earth to far off stars.)
c)Find the intensity of the light after 22 sec.
d)How long until the intensity has decreased to 1 lumin?

と続いているのです。

お礼日時：2003/03/20 19:11