9.99999..は？

まず前段として
1+0.1+0.01+.... = 1.11111...　を分数で表現するとき
1.11111... = X として
両辺を１０倍し
11.111... = 10X
この１０倍前後の２式を引き算すると
11.111... = 10X
-) 1.11111... = X
-----------------------
10 = 9X
X = 10/9 になります。

この考え方を 9+0.9+0.09+... = 9.99999...に適応すると、
99.9999.... = 10X
-) 9.9999... = X
--------------------
90 = 9X
X = 10 になってしまいます。
しかし　X=9.9999...であり、10ではありません。

上記の考え方の何が間違っているのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： suzukikun 回答日時： 2009/06/20 14:36

10-9.9999…=0.000…なので間違ってないです。

No.8 回答者： hugen 回答日時： 2009/06/20 23:38

9.9999...≠10　　とすると

9.9999...＜10　または　10＜9.9999...
一般に、
a＜10 なら、9の個数を増やせば、　　a＜9.9999...9＜10
もし、
9.9999...＜10 とすると 9.9999...＜9.9999...9＜10
9.9999...＜9.9999...9

No.7 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/06/20 23:26

何が間違っているかと言えば、

＞ X = 10 になってしまいます。

と、正しく推論した後、何の根拠もなく

＞ しかし　X=9.9999...であり、10ではありません。

としてしまったことが間違いです。
数学では、推論には根拠が要ります。


「書いてある文字が違う」というのであれば、
1+1 と 2 は異なる数なのかどうか　とか、
四 と 4 は異なる数なのかどうか　とか、
考え直してみると良いでしょう。

No.6 回答者： Ama430 回答日時： 2009/06/20 23:07

ゼノンの逆理という話があります。

一番有名なものは、
(1)亀とアキレスが競走する。
(2)亀はアキレスより前の位置からスタートするというハンディをつける。
(3)アキレスが亀のスタート地点まで走る間に、亀は少しだけ進んでいる。
(4)アキレスが亀のスタート地点まで走る間に亀が進んだ地点までアキレスが走る間に亀はさらに少しだけ進んでいる。
(5)これを繰り返すと永遠にアキレスは亀に追いつけない。

実際には、アキレスが亀より速いならいつか亀を追い越せるのですが、有限回繰り返して追いつかない話でも、「無限」によって到達距離も到達時間もゼロになるということを認めれば良いのです。

9.999999.....=9+0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+0.000009+.....
となりますが、有限回では10にたどりつかなくても、無限回繰り返すと10にたどりついてしまうということです。

No.5 回答者： taparon 回答日時： 2009/06/20 18:10

9.999...=10 ですので問題ありません。

もし、貴方がそれを納得すれば、の話ですが。
これは、0.999...=1 かどうかの問題と同じですが、納得できない人はどうしても納得できないので、結局、議論は永遠に続きそうです(^^;

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

No.4 回答者： BookerL 回答日時： 2009/06/20 15:54

　ときどき出てくる質問です。

＞しかし　X=9.9999...であり、10ではありません。

　正しくは、

　X=9.9999...だから、X=10である。

　となります。

X=9.9999...　の　...　は「無限に続く」ということです。

　X=9.9　と　10　の差は　0.1
　X=9.99　と　10　の差は　0.01
　X=9.999　と　10　の差は　0.001
　　　　：
　　　　：
有限の間は　x と 10 の差がありますが、無限に続けばこの差は 0 になります。「ほとんど 0 になる」のではありません。厳密に 0 になるのです。これが「無限」の意味です。

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/06/20 14:38

9.99999 = 10 です。

我々が普段使っている１０進数の位取りを使った数の表記の仕方では、同じ数が２通りの方法で表わされる場合があります。
これは別に不思議なことでもなんでもなくて、
0.1 と 1/10
が、全く同じ数を２通りの表記法で表わしているのと全く同じように、
9.99999… と 10
は、全く同じ数を、別の表記法で表わしているだけです。
数それ自体は１つですが、それを表記する方法が必ずしも１通りでなくて、たくさんあることは、別に不思議でもなんでもないと思います。

No.2 回答者： unchikusai 回答日時： 2009/06/20 14:37

　現代の数学では

0.9999999…＝１と扱っていますので、
9.9999999…＝１０なんです。