バンド理論の初歩でつまずいています！！

以下、僕の理解を示すため、あと、質問に入るため、すこし長文を書きます。
以下が大体の僕の理解だと思ってください。一応、量子力学、統計力学は理解しているつもりです。

　結晶中では原子や分子の単位構造が規則的に並んでおり、電気伝導においてはその規則的な構造の中を電子が動き回る。ここでは簡単のため、長さがＬの１次元の結晶を考える。量子力学から、閉じ込められた自由電子の波数kとエネルギーEには
E = (h_bar*k)^2/(2*m) ; k = ±2πn/L
という関係にある。このため、通常であれば自由電子のエネルギーはこの式によって連続的であるはず。
　結晶が単位構造が１原子からなり原子間隔がaであるとする。次の式が満たされるとき、波数kの電子の波動関数はブラッグ反射を起こして、その存在密度は散乱される。
k = ±π/a
　このため、結晶内で式を満たす波数k付近の波数を持つ電子は自由電子のようにはふるまえない。進行波は散乱され、電子の波動関数は定在波でしか許されない。１つの自由電子の波動関数ψの定常波はシュレーディンガー方程式から
ψ(x) = Aexp(ik*x)+Bexp(-ikx)
で与えられる。A,Bは任意の定数である。これよりこのモデル結晶での自由電子の波動関数の定在波は、
ψ(+) = exp(ik*x)+exp(-ikx) = 2cos(kx)
ψ(-) = exp(ik*x) - exp(-ikx) = 2isin(kx)
のどちらかの形をとると考えられる（☆）。
これにより２つのことなるエネルギーを取りうる。この差をバンドギャップという。この差によってエネルギーは連続性を失う。

ひっかかっているのは☆の部分です。
・・・なんでこの２つの形が許されるのですか？
個人的には差をとっているψ(-)が大変気に食わないのですが・・・。波の重ね合わせの議論ならば、和のψ(+)で十分では？
かなり考えたのですがもう泥沼です。助けてください。

No.5 回答者： leo-ultra 回答日時： 2009/08/29 20:34

井戸型ポテンシャルでもいいですし、水素原子の場合でもいいです。

シュレディンガー方程式を使って問題を解くと
多くの場合、いくつも異なる波動関数がでてくるでしょう。
水素原子の問題ならば、1S状態、2S状態、2P状態とか。
どれがエネルギー的に一番低いとか違いますが。

数学的に言うと、シュレ方程式という微分方程式を
問題の境界条件で解いたことになります。
この問題の２つの波動方程式をこの問題のシュレ方程式と
境界条件に代入するとちゃんと満たしているはずです。

そもそもエネルギーの異なる２つの波動関数が出てこないと
バンドギャップが現れません。
Cosだけ採用すると、あるエネルギーまでは状態が存在するが、
それ以上では状態が存在しないことになります。
注意して下さい、自由電子ならばどんな大きなエネルギーも
可能ですが、このCosの解はあるエネルギーより上は
存在しないというものです。

No.4 回答者： moumougoo 回答日時： 2009/08/29 19:21

当たり前ですが、系の原点をどこにとっているか確認してください。

原点に対して反転対称性のある位置にありませんか？
（※もし、そうでない場合は、固有状態はsinとcosの混ざった状態になりますよね。）
反転というオペレータとハミルトニアンは交換するので、同時固有状態が実現されますよね。
なので、反転に対する固有状態を考えれば良い分けです。

ブロッホの定理でも系の（並進）対称性（＝同時固有状態を考えること）が重要になります。
がんばってください。

No.3 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/08/27 13:03

間違ってたらごめんなさいですが、反射のときに位相の反転を伴う解と伴わない解の両方があるということでは？

この回答への補足

レスポンスありがとうございます！

その可能性も考えたのですが、一つの特定の結晶の中で異なる２つの種類の反射が存在するのでしょうか・・・？

電子の波動関数は、固定端的は反射と自由端的な反射の２つの反射の可能性を持ち、その結果、存在が許されるψ(+)とψ(-)が選択的に実現される、という理解でよいんでしょうか？

ちょっとまだ不安です。

どなたか意見をください！

補足日時：2009/08/27 21:21

No.2 回答者： Chaos9HEAd 回答日時： 2009/08/27 00:39

#1です。

すみませんなんか勘違いしてたので訂正します。

ψ(x) = Aexp(ik*x)+Bexp(-ikx)
= Acos(kx)+iAsin(kx)+Bcos(kx)-iBsin(kx)
= (A+B)cos(kx)+i(A-B)sin(kx)

なので、正弦波と余弦波の重ね合わせで表せるということです。

それを、正弦波と余弦波の部分に分けて書くと、
ψ(+) = exp(ik*x)+exp(-ikx) = 2cos(kx)
ψ(-) = exp(ik*x) - exp(-ikx) = 2isin(kx)
になるという事が言いたいんだと思います。
（前の係数は規格化）


同じ周期の定常波（ ψ(+)とψ(-) ）でも、
ψ(+)とψ(-) とでは、腹の位置はa/2ずれてます。

正イオンの配置とポテンシャルを考える（正イオンの近くでポテンシャルが深い）と、
ψ(+)とψ(-)では、
定常波の腹の位置がポテンシャルの深い位置に重なっていないものと、
重なっているものに分かれます。

ポテンシャルの深い所に電子の存在確率が高ければ、
それだけエネルギーが得になります。
それにより、
ψ(+)とψ(-)では正イオンのポテンシャルに応じたエネルギー差が生じる事になります。
それがエネルギーギャップです。

この回答へのお礼

さっそくの回答、ありがとうございます。
回答の中の議論は理解できました。

しかし、議論の中に「反射」の減少が登場しないのがいささか気になります。
僕は今、キッテルと向かい合っているのですが、彼の議論では、反射によって定在波ができる、といっています。
これだと、ψ(x) = Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)が反射して、
反射波φ(x) = Aexp(ik*x)+Bexp(-ikx) + Aexp(-ik*x)+Bexp(ikx)
= (A+B)2cos(kx)
というふうにψ(+)しかできないと思うのですが・・・。
ψ(-)ができる理由がAとBの任意性だけではでてこないので混乱しています。
もうすこし、考えてみます。

しかし、なにより、お早い回答に感激しました。ありがとうございます。

お礼日時：2009/08/27 10:37

No.1 回答者： Chaos9HEAd 回答日時： 2009/08/26 23:54

ψ(x) = Aexp(ik*x)+Bexp(-ikx)

（k=±2πn/a、nは整数）
において、

k>0の場合
ψ(x) = Aexp(ik*x)+Bexp(-ikx)
= Acos(kx)+iAsin(kx)+Bcos(kx)-iBsin(kx)
= (A+B)cos(kx)+i(A-B)sin(kx)
（ここではk>0）

k<0の場合
ψ(x) = Aexp(ik*x)+Bexp(-ikx)
= Acos(kx)-iAsin(kx)+Bcos(kx)+iBsin(kx)
= (A+B)cos(kx)-i(A-B)sin(kx)
（ここではk>0：マイナスを外に出した）

∴　ψ(x) = 2(A+B)cos(kx)-2i(A-B)sin(kx)
（ここではk>0）

よって、
ψ(+) = exp(ik*x)+exp(-ikx) = 2cos(kx)
ψ(-) = exp(ik*x) - exp(-ikx) = 2isin(kx)
（ここではk>0）

と書いてあるんでしょう。

正弦波、余弦波、どうしで重ね合わせ、
前の係数は規格化してあるんでしょう。


こんな感じだと思います。


長岡洋介の
「遍歴する電子」（産業図書）
に詳しく載っています。

たぶん図書館にあると思うので探してみてください。


キッテル著「キッテル固体物理学入門」（丸善）や
アシュクロフト・マーミン著「固体物理の基礎」（吉岡書店）
にもバンド理論について載っていますので参考にしてみてください。