損益分岐点問題

次のような宝くじを考えます。

白球１００個，黒玉１０個，青球７個，赤玉３個の
計１２０個の玉の入った袋が用意されています。

宝くじ購入者は、
　１０円を支払って、この袋の中から無作為に玉を１つ取り出し、
　その色を記録して、袋の中に玉を再び戻す
という操作を繰り返します。

そして、この宝くじは、黒，青，赤の各々の色の玉が１回以上
出揃ったら当選とし、ある当選金を受け取って終了（リセット）します。

ここで、宝くじ購入者の途中棄権が無いと仮定したとき、
この当選金の損益分岐点は、いくらになりますか？

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/10/06 20:06

当選金の期待値を計算して、購入額（=10円）と比較することになると思いますが、

「繰り返す操作」は何回までですか？
それとも、黒，青，赤の玉が出そろった操作の回数で金額が変わるといった条件はありますか？

ずっと繰り返せるのであれば、118回やれば必ず3色が出そろうことになってしまいます。

No.2 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2009/10/06 23:06

白玉を取り出す確率を、p0=100/120

黒玉を取り出す確率を、p1=10/120
青玉を取り出す確率を、p2=7/120
赤玉を取り出す確率を、p3=3/120
とするとき、ｎ回目で黒，青，赤の３つの玉が初めて揃う確率P[n]は、次の式になります。

P[n]=Σ[k=0・・・n-3]{Σ[i=0・・・k]{(n-1)!/((n-k-3)!(i+1)!(k-i+1)!)*p0^(n-k-3)*(p1^i*p2^(k-i)+p2^i*p3^(k-i)+p3^i*p1^(k-i))}}p1p2p3

損益分岐点が購入額の期待値だとすると、
Σ[n=3・・・∞]10nP[n]
で求められます。

実際には計算していませんがたぶん合っているんじゃないかなあ・・・

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2009/10/07 17:14

＃２の式で計算してみたら、購入金額の期待値は、468.53円になりました。