試行を無限回行うと確率が一定値になること

おねがいします。
つぼUには白玉と黒玉が一つずつ計２個、つぼVには白玉２個黒玉１個の計３個が入っている。各つぼから一つずつとってつぼUからとった玉はつぼVへ、つぼVからとった玉はつぼUへ入れる手続きをn回行うとき、Uに白玉が２個ある確率をpn（nは下つき）、白玉黒玉が１個ずつある確率をqn、黒玉が２個ある確率をrnとするとき、以下の問に答えよ。
(1)pn、qn、rnをpn-1、qn-1、rn-1(n-1は下つき)を使って表せ。
(2)この手続きを無限回行うと確率pn、qn、rnが一定値p、q、rになること（すなわちlim(pn)=p、lim(qn)=q、lim(rn)=r）が分かっているとする。このときp、q、rを求めよ。

(1)はつぼUのn-1回目終了時点での玉の入り方（３種類）を考えてとこうとしたのですがうまくいきませんでした。
pn=2/3pn-1、qn=13/6qn-1、rn=4/3rn-1

(2)は何をしていいかわかりませんでした。

詳しい説明をしていただけるとうれしいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2005/08/01 15:05

U{○○}V{○●●}P(n-1)・・・・(1)

U{○●}V{○○●}Q(n-1)・・・・(2)
U{●●}V{○○○}R(n-1)・・・・(3)

という状態から確率P(n)を計算するには
(1)の時はUからは白が出てVからも白を引く必要があるので

1×1/3×P(n-1)

(2)の時、Uからは黒を取り出し、Vからは白を取り出す必要があるので

1/2×2/3×Q(n-1)

(3)からはUが白になる可能性はなく0、全て足して

P(n)=1/3P(n-1)+1/3Q(n-1)

同様に

Q(n)=2/3P(n-1)+1/2Q(n-1)+R(n-1)
R(n)=1/6Q(n-1)

で、これらが収束するのなら

p=1/3p+1/3q
q=2/3p+1/2q+r
r=1/6q

また、
p+q+r=1
より

p=3/10
q=3/5
r=1/10

です。これは白玉3個、黒玉2個入った袋から玉2個取り出した時に
それぞれ白2個、白黒1個ずつ、黒2個である確率に等しくなります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

先ほど自分で計算したところage_momo様と同じ答えになりました。
とても詳しく教えていただきありがとうございました。

お礼日時：2005/08/01 16:28

No.2 回答者： dczuki 回答日時： 2005/08/01 02:25

すいません、No1です。

訂正します。
(i)白玉二つか白玉、(ii)黒玉が一個ずつ
→(i)白玉二つか(ii)白玉、黒玉が一個ずつ

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

とても詳しい説明ありがとうございます。
漸化式をたてて計算してみます。

お礼日時：2005/08/01 11:02

No.1 回答者： dczuki 回答日時： 2005/08/01 02:17

この種の問題にはまず実験（ｎを具体的な数字にして考えること）をしてみることが大事ですが、今回は省きます。

(1)について：ｎ回目にUに白玉が二つになるためには
（n-1）回目の試行の後Uに(i)白玉二つか白玉、(ii)黒玉が一個ずつないといけませんよね。
(i)のときVには白玉一つ、黒玉二つなわけですから、ｎ回目にUに白玉二つになる確率は1/3p(n-1)
(ii)のときVには白玉二つ、黒玉一つなわけですから、
ｎ回目にUに白玉二つになる確率はUから黒玉を引かなければならないので1/2×2/3q(n-1)ですよね
(i)(ii)からp(n)=1/3p(n-1)+1/2×2/3q(n-1)となります。q(n),r(n)も同じように考えたらいいだけです。
(2)について：(1)でもとめた漸化式から一般の数列式をつくり、その極限をとればいいだけです。