「共振」(あるいは「共鳴」)について、物理的に、しかし領域特異的でないという意味で包括的に、論じてほしい、です.

目的は、電磁波工学における電気的共振を、納得して理解をしたいところにあります.いわゆる教科書の説明では、LCR回路とか細かい話へいく傾向があり、腑に落ちない.腑に落ちる理解のため、いったん、この領域(電磁波工学)を越えて、核磁気共鳴(NMR)とか、電波天文学とか、分光学(分子振動)とか、音響学とかまで範囲拡大し「共振」の最大公約数としての、記述枠組みを得たい.

背景:
例えば、電磁波の吸収にともなう電子の励起も「共振」とか「共鳴」とかの概念に合致すると思います.
一方、FMとかTVの電磁波と空中線・受信機の相互作用「共振」と、当然言うと思います.
他には、電子レンジの中で、マイクロ波を受けて水分子が分子振動するのも、「共振」とか「共鳴」とか言うと思います.
さらに、音叉が音を介在させて、他の音叉を振動させるのも、「共振」とか「共鳴」とか言うと思います.
また、そんなによく知らないのですが、核磁気共鳴(NMR)では、周期変動する磁場変化を受けて原子の中の電子?のスピンが反転、反転を繰り返す、つまり、「共鳴」するようだったと思います.
さらに、天文のジャンルでも、巨大なレベルで「共鳴」とか、「共振」とかの具体例と研究があるのではないかと推定しています.(よく知らない).

予想:
私見では、「離散的なエネルギー準位」「波によるエネルギー伝達」「振動子が、あるエネルギー準位から、別のエネルギー準位へ、ジャンプ」などの用語が骨格となるか…と考えています.しかし、それにとらわれず、別の枠組みもあるのでは?と思います.

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A 回答 (1件)

振動系には通常固有振動数ω0があります.


この振動系に外部から周期的な力を加えるとき,
外部力の振動数ωがω0に近づくと振動系の振幅が急激に増加します.
これを共振と呼んでいます.

振動系は何でもいいわけで,ばねや振り子のような力学的なものから,
音,電気回路,光の吸収,などいろいろな局面で見られます.
ブランコを押して揺らすのが一番目に見えてわかりやすいでしょうか.
あ,でも,具体例は余りお気に召さないのかな?

共鳴ということもあるのは,2つの音叉や,音叉と共鳴箱の場合に,
この現象が最初に顕著に認められたからなのでしょう.
ブランコ(というか,振り子)の方が音叉の共鳴より先だと思いますが
(蔓にぶら下がって遊ぶなどは,人間がサルに近い頃からあった?),
両者が本質的に同じ現象であることが認識されるのは,はるか後でしょう.
英語では,共鳴も共振も resonance で,区別はないようです.

もともとの共鳴は上のようなものでしたが,だんだん拡張されて,
特定の振動数に強く反応するような現象を共鳴というようなりました.
glair さんのキーワード
(1) 「離散的なエネルギー準位」
(2) 「波によるエネルギー伝達」
(3) 「あるエネルギー準位から、別のエネルギー準位へ、ジャンプ」
はむしろ,拡張された,量子力学的色彩の強い共鳴に適合します.
なお,(3)は必ずしも「振動子が」でなくてOKです.

例えば,核磁気共鳴では,磁気モーメントを持つ原子核に静磁場をかけます.
そうすると,磁場方向の磁気モーメントの成分に応じて,
原子核のエネルギー準位が離散的に分裂します(キーワード(1)).
細かいことを言わなければ,分裂後の隣り合ったエネルギー準位間の
間隔は一定です.
で,そこにさらに角振動数ωの電磁波を当てる(キーワード(2)).
これは,エネルギー hω/2π の光子がたくさんあると見なせますから
エネルギー準位差が hω/2π に等しければ,光子が1個吸収されて
1個の原子核のエネルギーが1準位分あがります(キーワード(3)).
このとき,電磁波が強く吸収されるわけです.

核磁気共鳴は原子核の磁気モーメントが関係して起こります.
電子ではありません.
電子も磁気モーメントを持っていますから,同様なことが起こりますが,
そちらは「電子スピン共鳴」(ESR = electron magnetic resonance)と呼んでいます.

静磁場中の磁気モーメントの運動を半古典的に扱うと
調和振動子の微分方程式が得られて,
その固有角振動数がちょうど吸収電磁波の角振動数に当たっています.

量子力学的な共鳴は glair さんのキーワードで整理できそうですが,
古典的な方はうまく行きませんね.
(2)は場合によりけりですが,
古典的には(1)(3)はエネルギー準位が離散的になっていたり,
それらの間をジャンプしたりするわけではないですから.

結局,はじめの方に書いた「特定の振動数に強く反応するような現象」
ということでしょうか.

なお,原子核の状態や化学結合などで,共鳴という言葉が用いられますが,
上で述べたような共鳴とは多少違う話です.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました.当初の質問が相当限定的だったので、どなたも回答してくれないことをおそれていたのですが、こんなに平易に回答してくださって嬉しいです.私の質問は今になって振り返ると、(1)量子力学的な観点での「共鳴」の枠組みを持って、それ以外の「共鳴」の各事例も、記述できないか、あるいは、(2)ある新規な観点の「共鳴」の枠組みを持って、多様な分野の「共鳴」事例を、記述できないか、という風にいえます.sigmund様は、回答として、(1)「うまく行」かない.(2)「 振動系には通常固有振動数ω0があります. この振動系に外部から周期的な力を加えるとき, 外部力の振動数ωがω0に近づくと振動系の振幅が急激に増加します.」このように「特定の振動数に強く反応するような現象」を共鳴「ということでしょうか」という回答と認識します.大変ありがたいです.また、「論じて、ほしい」と書いた私の意図に答えてくださって、各種の分野での事例を挙げたり、英語表現を挙げたりして、最後に、まとめとしてご意見をいただけるという形で、論じてくださり、感激しました.さらさらっとかかれている感じを受けました.論じる、ということの私にとってのお手本とさせていただきたく思います.

お礼日時:2001/03/22 10:05

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#1です。
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QRLC共振並列回路のLCのインピーダンスについて

RLC並列回路にさらに抵抗Rが接続されている回路で(電圧源は交流電源E)、説明しにくいのですが、

RLC並列回路のところで、RとLCとの間に端子abがあります。つまり端子abで切断するとRと、LCの並列接続部分とに分かれるような位置です。

漢字の"目"を90度左に回転し、2画目に電源Eと抵抗R、3画目に抵抗R、4画目にコイルL、5画目にコンデンサC、2画目の、3画目と4画目との間に端子a、それとちょうど反対側に端子bがある感じです。

そのような回路の"共振時"で、
(1)角周波数ω0を求めよ。
(2)回路の良さ(尖鋭度)Q0、帯域幅Bを求めよ。
(3)コンデンサCにかかる電圧と流れる電流Icを求めよ。
(4)端子abから右側のインピーダンスを求めよ。
という問題なのですが、

以下僕が考えたやり方です。
まずテ電圧源を電流源J=E/R、RLC並列回路の抵抗RをR'=R//R(=R/2)と変換し、RLC並列回路だけで構成される回路(電源は電流源J)にしました。

(1)
回路のアドミタンスYは
Y=2/R + 1/jωL + jωC
=2/R + j(ωC -1/ωL)

これより、アドミタンスにかかる電圧Vは
V=J/Y……(1)

共振時は電圧と電流が同じ位相になるので、アドミタンスの虚部=0となるωがω0である。
従って、
ωC = 1/ωL
よって、ω0=1/√(LC)

(2)
Q0=ω0*C*R/2より、
Q0=(R/2)*√(C/L)

B=ω0/Q0より、
B=2/(RC)
ここはQとBは公式を使ったのですが、できればちゃんと算出したいです。
しかし自分ではわからなかったので教えていただけたらうれしいです。

(3)
(1)の式のωに(1)で求めたω0を代入して、
V=E/2
電流Icは
Ic=V*jωC にω=ω0を代入して、
Ic=j*(E/2)*√(C/L)

そして(4)なのですが、同じようにコイルに流れる電流ILを求め、
インピーダンスZ=V/(Ic + IL)で求めようとしたのですが、分母の電流が0となり求められませんでした。

どうしたらいいのでしょう。
また、(1)~(3)の解き方はこれでよろしいでしょうか?

RLC並列回路にさらに抵抗Rが接続されている回路で(電圧源は交流電源E)、説明しにくいのですが、

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漢字の"目"を90度左に回転し、2画目に電源Eと抵抗R、3画目に抵抗R、4画目にコイルL、5画目にコンデンサC、2画目の、3画目と4画目との間に端子a、それとちょうど反対側に端子bがある感じです。

そのような回路の"共振時"で、
(1)角周波数ω0を求めよ。
(2)回路の良さ(...続きを読む

Aベストアンサー

>>|1+Tx|^2 = |2 + j*R*{ωC - (1/ωL)}|^2 = 8
>> xC - (1/xL) = ±2/R
>これをどうやって導いたのか良くわかりませんでした。

半値電力になる角周波数 x として、
  |1+T(x)|^2 = |2 + j*R*{xC - (1/xL)}|^2 = 8
は OK ですか?
これがあっておれば、
  |2 + j*R*{xC - (1/xL)}|^2 = 4 + (R^2)*{xC - (1/xL)}^2 = 8
  (R^2)*{xC - (1/xL)}^2 = 4
  {xC - (1/xL)}^2 = (2/R)^2
と変形して、
  xC - (1/xL) = ±2/R  …(b)
を得ます。
あとは式 (b) の非負解 xo を求め、その差を帯域幅 B としました。

>(3)のコンデンサにかかる電圧に関してはVo=E/2で、電流IcはVo*jωo*Cを計算したらでますよね?

そのとおりですね。

>(4)も(3)同様にコイルLの電流を求めてIcと足し合わせ、Vo/Iとすれば出てくると思うんですが、やはり0になってしまうと思います。
>問題は一応回路の共振時において(1)~(4)を解けという形になっていますが、ここはωoではなくωで計算するべきなのでしょうか?

これについては、
  "共振時"で(4)端子abから右側のインピーダンスを求めよ。
というのが問題らしい。
だとすれば、コイルLの電流を求めてIcると 0 になるのだから、インピーダンスは「無限大」。

>>|1+Tx|^2 = |2 + j*R*{ωC - (1/ωL)}|^2 = 8
>> xC - (1/xL) = ±2/R
>これをどうやって導いたのか良くわかりませんでした。

半値電力になる角周波数 x として、
  |1+T(x)|^2 = |2 + j*R*{xC - (1/xL)}|^2 = 8
は OK ですか?
これがあっておれば、
  |2 + j*R*{xC - (1/xL)}|^2 = 4 + (R^2)*{xC - (1/xL)}^2 = 8
  (R^2)*{xC - (1/xL)}^2 = 4
  {xC - (1/xL)}^2 = (2/R)^2
と変形して、
  xC - (1/xL) = ±2/R  …(b)
を得ます。
あとは式 (b) の非負解 xo を求め、その差を帯域幅 B ...続きを読む

Q調和振動子のエネルギーは振動数に比例するらしいのですが

E=hνの式より、単振動エネルギーは振動数に比例するということが分かっているのですが、
質量mバネ定数k振幅Aにつながれた単振動のエネルギーは
E=(1/2)kA^2 ν=(1/2π)√(k/m)からkを求め、
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僕の読んだ本の結論では"あらゆる振動系において、Eはνに比例する"と書いてあります。
ということは、上の単振動のエネルギーもνに比例するはずです。
どうして上の式と辻褄が合わないのでしょうか?

当方、大学一年のため、分かりやすい説明をお願いします。
あと、参考になるサイトがあればそれもお願いします。

Aベストアンサー

古典力学の単振動のエネルギーは振動数の2乗に比例します。
http://www7.plala.or.jp/stokida/l2h/tansindoe/node4.html

でその本に書いてある量子化の話は
http://www.phys.aoyama.ac.jp/~w3-furu/lecs/QMA2003/chapter7.pdf
だと思います。

古典力学では調和振動子の振幅は任意に取れるために,両者は独立に考えられるので,振幅が一定ならエネルギーは振動数の2乗に比例,振動数が一定なら振幅の2乗に比例となり独立に依存性を表現できます。
それが最初のHPの古典力学的な説明です。

一方,量子力学では振動が量子化されてしまうために,振動数と振幅が独立な値をとることができません。

つまり,調和振動子の一番低い振動数の振幅が決められてしまうので,
エネルギーが確定してしまうのです。
古典力学では調和振動子の一番低い振動数の振動は振幅を増やしていけば
エネルギーを増やすことができます。
逆に言えば,振幅を一定にして振動数を変えることができますから,
その場合のエネルギーは振動数の2乗に比例します。

ところが量子化された振動子では振動数で決まる特定の振幅しか
状態として存在しないことになり,そのエネルギーと振動数の関係が
比例関係にあることになります。

つまり,質問者様の疑問点は
1.自由度の大きい古典力学では振幅を一定にしたときの振動数のエネルギーの関係(2乗に比例)
2.自由度の少ない量子力学では振動数とエネルギーの関係(振幅が決まってしまうため1乗に比例)
の二つの考え方からきていることと思います。

量子化というのはしっかり理解するのが難しいので,いろいろ悩むことは
良いことだと思います。
がんばってください。

古典力学の単振動のエネルギーは振動数の2乗に比例します。
http://www7.plala.or.jp/stokida/l2h/tansindoe/node4.html

でその本に書いてある量子化の話は
http://www.phys.aoyama.ac.jp/~w3-furu/lecs/QMA2003/chapter7.pdf
だと思います。

古典力学では調和振動子の振幅は任意に取れるために,両者は独立に考えられるので,振幅が一定ならエネルギーは振動数の2乗に比例,振動数が一定なら振幅の2乗に比例となり独立に依存性を表現できます。
それが最初のHPの古典力学的な説明です。

一方,量子...続きを読む

QLC並列共振回路とインピーダンスマッチング

ここに6t(タップ3t)で1µHのインダクタがあり、並列に接続したキャパシタにより、100MHに共振していると仮定します。
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(逆説的な云い方で申し訳ないですが)
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曖昧質問で申し訳ないですがよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

「トランスマッチ」のことは、「巻数比の二乗」でチョン!のはず。
「同調トランスのインピーダンスレベル」の方へ話題を振ったのは、そちら様…。
「巻数比の二乗」とは別のハナシです。

ちなみに、入出力抵抗 (R) 間に並列同調回路 (L, C : 共振 @ fo) をシャント接続したとき、(3dB 反射) 整合帯域幅 BW は、
 BW = 4πLfo^2/R
で勘定できそう…。
   

Q電磁波エネルギーと電磁場エネルギー密度の違いは?

電磁波が持つエネルギーを調べていましたら、以下の2つが見つかりました。
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(1)電磁波エネルギー: E=hν
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(2)電磁場のエネルギー密度: u=1/2 (εE^2 + μH^2)
 ε:誘電率、μ:透磁率、E:電場の強度、H:磁場の強度

宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

No.1です。再度回答失礼します。

電磁波の正負に交錯し合う電場と磁場を考えた場合、交錯点ではどちらも0。
方や、双方がピークになる点で電磁場のエネルギー密度がピークになることが起こり、エネルギーが生まれたり消滅したりを繰り返すことになります。

このようなエネルギー保存則に反することと、光電効果の実験結果から、光量子という概念が生まれました。

もっと良く考えてください。
電磁場のエネルギー密度の電界は電荷が生み出します。磁界も、基は電荷です。しかし、電磁波は本来電荷が移動したことにより発生するものですが(閉じる必要がありますが)、伝播している電磁波は基となる電荷がないんです。なのに、電界と磁界が交錯しながら移動していくのです。

これは、元となる電荷が光量子を切り離した結果、伝播していく電磁波となったと言うように考えることができます。(電荷自身が交流電界により動く → 電子がエネルギーを受けている状態 → その一部が電磁波となって切り離されて飛んでいく)


なので、最初に2つは違うものだといったのはそういう意味です。

自然が変化を嫌うという概念から始まり、電磁波まで発展していったのは、やはり自然の驚異であると思いますね。

No.1です。再度回答失礼します。

電磁波の正負に交錯し合う電場と磁場を考えた場合、交錯点ではどちらも0。
方や、双方がピークになる点で電磁場のエネルギー密度がピークになることが起こり、エネルギーが生まれたり消滅したりを繰り返すことになります。

このようなエネルギー保存則に反することと、光電効果の実験結果から、光量子という概念が生まれました。

もっと良く考えてください。
電磁場のエネルギー密度の電界は電荷が生み出します。磁界も、基は電荷です。しかし、電磁波は本来電荷が移動したこと...続きを読む


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