数学的帰納法について

１．漸化式、ａ_1＝１、ａ_(k+1)＝ａ_k／１＋ａ_kで表される一般項ａ_nをａ_2、ａ_3、ａ_4の値から推測し、その予想が正しいことを数学的帰納法で証明せよ。

２．円周上に異なるｎ個の点をとるとき、これらを結んでできる線分の個数をａ_nとする。ａ_1＝０である。
(1)ａ_k+1とａ_kの関係を求めよ。
→答えは、「ａ_(k+1)＝ａ_k＋ｋ」となったのですが、その過程が自信ないのでお願いします。
(2)ａ_nをｎの式で表せ
→これも、答えは、「ａ_n＝n(n-1)／2」となったのですが、その過程が自信ないのでお願いします。

最後になりましたが、そもそも「数学的帰納法」とはなんなのでしょうか？　なぜ、これを使うと証明ができるのか・・・も併せて教えて頂けると勉強になります。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/05/08 23:17

adminsさん、こんにちは。

＞１．漸化式、ａ_1＝１、ａ_(k+1)＝ａ_k／１＋ａ_kで表される一般項ａ_nをａ_2、ａ_3、ａ_4の値から推測し、その予想が正しいことを数学的帰納法で証明せよ。

指示に従って、順番にk=1,2,3,4,・・・と代入してみましょう。
k=1のとき、a[2]=a[1]/{a[1]+1}=1/(1+1)=1/2
k=2のとき、a[3]=a[2]/{a[2]+1}=(1/2)/{(1/2)+1}=1/3
k=3のとき、a[4]=a[3]/{a[3]+1}=(1/3)/{(1/3)+1}=1/4
となるので、a[n]=1/nと推測できます。

これを、数学的帰納法で証明します。
1)n=1のとき、a[1]=1/1=1で成立。
2)n=kのとき成立とすると、a[k]=1/kである。
3)n=k+1のときは
a[k+1]=a[k]/{a[k]+1}=(1/k)/{(1/k)+1}=1/(k+1)
となるので、２以上のｋについて、ｋ＋１のときも成り立つ。

1)2)3)により、数学的帰納法で、予想が正しいことが証明されました。

＞２について
(1)ａ_k+1とａ_kの関係を求めよ。
→答えは、「ａ_(k+1)＝ａ_k＋ｋ」となったのですが、その過程が自信ないのでお願いします。

その答えで正しいですね。
一般に、ｋ個の点がすでにあるとき、もう一つの点を加えると
それぞれのｋ個の点への直線が引けますから、さらにｋ本引けます。
ということは、a[k+1]=a[k]+kが言えます。

(2)ａ_nをｎの式で表せ
→これも、答えは、「ａ_n＝n(n-1)／2」となったのですが、その過程が自信ないのでお願いします。

a[k+1]=a[k]+kですから
a[k+1]-a[k]=k・・・階差数列を取ってみる。これをb[n]とおくと、
a[n]=Σ(k=1to(n-1))b[k]+a[1]
=Σ(k=1to(n-1))k
=n(n-1)/2・・・答えとなります。正解です。

＞そもそも「数学的帰納法」とはなんなのでしょうか？

帰納法というと、一つ一つの具体的な事実を総合し、そこから一般的な
原理または法則を導き出すこと、です。
特殊なものから普遍的なものを導き出すという哲学的な意味があります。
これの反対が、演繹法といいます。

数学的帰納法とは、数学的に、機能的な方法で
ある命題が、すべての自然数について成り立つ（普遍的であること）を
k番目の自然数で成り立つという仮定のもとに、k+1番目の自然数でも成り立つことを、数式で証明し、
それを用いて一般的に命題が成り立つことを証明するという技法です。

参考URL：http://www.nikonet.or.jp/spring/hairi/hairi.htm

No.5 回答者： uyama33 回答日時： 2003/05/09 17:58

なぜ、これを使うと証明ができるのか・

　この部分についてすこし。

N を自然数の集合とします。
ある集合Ｓが次の２つの性質
１はＳの要素である。
ｋがＳの要素ならば（ｋ＋１）もＳの要素である。
を満たすならば、Ｓは　N　全体を含む。

　このことを数学的帰納法の原理と言います。
これを正しいものとして認めれば
　
　証明ができますが、認めなければ証明できません。

　これを認めると、
Ｓ　は、命題の結論が正しく成立するような　
数の集まりとします。

　１のとき正しい　－－－　１はＳの要素だ。
ｋの時正しい　（ｋはＳの要素）　なら　（ｋ＋１）
のときも正しい　（ｋ＋１もＳの要素だ）

帰納法の原理が正しいなら
　自然数全体が　Ｓ　にはいる。
すべての自然数について
正しいことになる。

No.4 回答者： noname#12510 回答日時： 2003/05/08 23:40

数学的帰納法とは、数列でa_kが正しければa_(k+1)も正しいことを証明することによって一般項が正しいことを証明する方法です。

a_1が正しいことを確認してしまえば、a_2は正しい。a_2が正しいことが証明されたので、a_3も正しい。同様にa_4も。と、いった具合にこれでどこまでも証明を連鎖的にすることができます。
とても感動する証明方法です♪

問題は
1
計算より、a_1=1、a_2=1/2、a_3=1/3、a_4=1/4を確認。
よって、一般項a_n=1/nと予想される。これを証明。

もし、a_kが真ならばa_(k+1)は真か？(←数学的帰納法ではこれを必ず考えます。)
a_k=1/k。これは真と考えます。
では、a_(k+1)=1/k+1か？？

漸化式よりa_k=1/kならば、a_(k+1)=(1/k)/[1+(1/k)]となり、これは真に違いありません。これが定義なのですから。
もしこの「(1/k)/[1+(1/k)]」が「1/k+1」に変形できれば、「a_(k+1)=1/k+1」これは成り立つことになる！

(1/k)/[1+(1/k)]
=(1/k)/[(k+1)/k]
=1/k+1
・・・できた！

よって、「a_k=1/k」ならば、「a_(k+1)=1/k+1」となる。
よって正しい。…終

2
1)
円上にn個の点があれば、それに1点を追加すれば、 引ける線はn個増える。これは明確。
よって、a_(k+1)=a_k+k。
2)
線分の取り方は順列、組合わせの考え方により、n(n-1)/2通り。
よってそうなる！！・・・は、ちょっとずるい？ので、
n-1
Σ k = n(n-1)/2
k=1
だって、数列aにはb_n=nの階差数列bが隠れているから。・・・と、言うのはいかが？

1の別解。
a_(k+1)=a_k/1+a_kを、分母分子ひっくり返して、
1/a_(k+1)=1+a_k/a_k
とする。
1/a_n=b_nと設定。b_nを定義。
よってこの式は、
b_(k+1)=b_k+1と解釈できる。b_kは等差数列なのでとても簡単♪
初項は1/a_n=b_nより1/a_1=b_1→1/1=b_1→b_1=1

よってb_n=1+(n-1)→b_n=n

1/a_n=b_nなので、ひっくり返して、a_n=1/b_n→a_n=1/n…完了

自信はあんまりないのら。

No.2 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/05/08 23:03

漸化式はａ_1がわかったらａ_2がわかって、ａ_2がわかったらａ_3がわかって・・・って次々にわかっていきますよね。

それを見ると法則性が見えてきます。
そこから一般項を推測して、それが正しいか数学的帰納法で証明します。

ａ_1＝１、ａ_2＝1/2、ａ_3＝1/3、ａ_4＝1/4

これらから
ａ_n＝1/ｎ・・・（＊）と推測できる。

[証明]
（i)ｎ＝１のとき　ａ_1＝1より成り立つ。
（ii)ｎ＝ｋのとき（＊）が成り立つと仮定すると
ａ_k＝1/ｋ・・・☆
ｎ＝Ｋ＋１のとき
ａ_(k+1)＝ａ_k／１＋ａ_k（最初に与えられた条件式に☆を代入）
ａ_(k+1)＝（1/ｋ）／｛１＋（1/ｋ）｝＝1／（ｋ＋１）

（i)（ii)より（＊）はすべての自然数ｎで成り立つ。

とこんな感じで。
数学的帰納法はある程度はワンパターンですので、慣れればよいかと。

数学的帰納法の原理です。↓

参考URL：http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/kin …

No.1 回答者： ymmasayan 回答日時： 2003/05/08 22:56

まず、数学的帰納法のところだけ。

１．ある数Ａで与式が成立することを証明する。
２．Ｎで与式が成立すればＮ＋１でも成立することを証明する。
３．１と２より、Ａから無限大まで与式が成立することを宣言する。