加減法と代入法の注意点

予備校の授業でふと疑問に思ったのですが、
なにが分からないのかよく自分でも理解できないんです。
多分こういう疑問だと思うのですが、お願いします。
ちなみに「大学への数学」を見たところ、「存在と同値」
とか言うタイトルで説明されていましたが今ひとつ
ピンと来ません、よろしくお願いします。
Ａ＝Ｃ・・・・１
Ｂ＝Ｃ・・・・２
このＡ＝Ｂを示すやり方としては二通りありますが、
まず解法１として
１式を２式に代入して直接Ａ＝Ｂを導くやり方＜代入法＞
つぎに解法２として
１式から２式を引いてＣを消去しＡ－Ｂ＝０として
やり方＜加減法＞
この二つの違いについて具体的に述べられる人がいたら
教えて欲しい、お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yamabuki 回答日時： 2003/05/16 12:56

高校数学では

=記号は何を意味するか。代入とは何か。減算とは何か。

といった問題が「説明しないけど何となく分かるよね」で済まされているんですね。

で，それを突き詰めて考えていくとwajyuさんのような疑問にぶつかるんじゃないかと思います。

多分きちんと説明しようとすると話題が多岐に渡るし，そもそも私の手には余る話だと思うので，お尋ねの代入法と加減法の違いについて私見を述べるに留めます。

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wajyuさんは多分「A,B,Cは数」「“=”は“数が等しい”という意味」というつもりで書いたと思うのですが，試しに他の意味を与えてみましょう。

たとえば，

A,B,Cは集合。
“=”は，「すべての要素が一致する」という意味。

だとします。この場合も

A=C かつ B=C ならば A=B

が言えます。

しかし，数の場合との決定的な違いは加減法が使えないことです。集合間には減算が定義されていないからです。

ここから代入法と加減法の違いの一つが分かります。
「代入法は減算が定義されていない場合でも使えるが，加減法は使えない」

代数学の体系は，まず空間(例えば複素数の集合)を定義し，その空間の要素に対して，“=”の意味であるとか，加減乗除等の演算であるとかを定義し，その定義にもとづいてどのような定理が成り立つかを調べる形で構築されます。

方程式を解く際に何気なく使っている代入とか移項とかの操作も，実はそのような根本的な定義と公理の体系に基礎付けられており，wajyuさんの疑問はそれらにつながるから難しい問題なのだと思います。

この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございます、ヤマブキさんは
「集合間には減算が定義されていない」
と言われていますが、参考書などを見ると
このような記述があります
「集合Ａの要素の個数をｎ（Ａ）と表す。とき
次の関係が成り立つ。
ｎ（ＡＵＢ）＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）－ｎ（Ａ∩Ｂ）」
このなかでは集合間で減算を使用しているのですが
これはどう考えたらよいのでしょうか？

お礼日時：2003/05/16 20:19

No.3 回答者： yamabuki 回答日時： 2003/05/17 11:54

こんにちは 2のyamabukiです。

> ｎ（ＡＵＢ）＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）－ｎ（Ａ∩Ｂ）

この式でＡは集合ですが、ｎ（Ａ）は整数です。
「ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）－ｎ（Ａ∩Ｂ）」は、三つの整数
ｎ（Ａ），ｎ（Ｂ），ｎ（Ａ∩Ｂ）
の間で加減算を使っているものです。

ちょっと紛らわしいですが、わかります？

この回答へのお礼

なるほど、ｎ（Ａ）はＡに含まれる
整数と言うことですね。
なかなか複雑な問題のようなので
このくらいでは全部はとてもつかみ切れませんが
ヤマブキさんのおかげでなんとなくではありますが
概形が理解できたような気がします。
ありがとうございました。

お礼日時：2003/05/17 21:33

No.1 回答者： springside 回答日時： 2003/05/15 07:32

違いはなくて、本質的には同じことをしていると思います。

Ａ＝Ｃ・・・・１
Ｂ＝Ｃ・・・・２
とします。

＜代入法＞（これはむしろ、＜直接法＞という感じ）
２式により、「ＢとＣは同じ」だから、１式におけるＣをＢと入れ替えることができる。
よって、
Ａ＝Ｂ（右辺のＢは、右辺にあったＣをＢと入れ替えたもの）

＜加減法＞
１式の両辺からＢを引くと、
Ａ－Ｂ＝Ｃ－Ｂ・・・・３
２式により、「ＢとＣは同じ」だから、３式におけるＣをＢと入れ替えることができる。（この部分は、＜代入法＞と同じであることに注意）
よって、
Ａ－Ｂ＝Ｂ－Ｂ
つまり、
Ａ－Ｂ＝０
ゆえに、
Ａ＝Ｂ