中学校入試問題

一辺が６cmの正方形ABCDがあり（時計回りにABCD）辺AB上に点Q、辺AC上に点pがある。辺AQは４cm辺APは３cm。点Pと点Qをそれぞれ点Dで結ぶと四角形AQDPができます。角PDQの角度は何度になりますか？分かりにくくてすいませんが小学６年生に分かるように教えて頂けますか？

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/11/30 11:18

「目分量で」というわけにもいきませんね。

次のように考えてみました。
長文となりますが、ご容赦ください。

(1) 分割されたそれぞれの三角形の面積を求めてみます。
図中の赤字は、面積を表します。

(2) 三角形QBCを 90度回転させて、辺CDにくっつけてみます。
（辺BCと辺CDはともに正方形の一辺なので、ぴたりと合わさります。）

(3) 三角形PECと三角形PQCの面積は等しいことがわかります。

(4) 三角形の底辺が辺PCで共通ですので、高さは等しいことがわかります。

(5) 三角形AEQと三角形PDCを考えると、同じ形（相似）であることがわかります。
すると、辺QEと辺PCが直交していることがわかります。
（右の図を参照）

(6) 辺QEは(3)で等しいとされた 2つの三角形の高さになります。
すると、これら 2つの三角形は同じ形（中学数学でいう合同）になります。

(7) 角BCD= 角BCQ＋角QCD= 90度です。
角BCQと角DCEは同じ角ですので、角QCE= 角QCD＋角BCQも 90度です。

(8) (6)から角PCQ= 角PCEであることがわかるので、
角PCQ= 90度÷ 2= 45度となります。


わかる角度が 90度しかないので、等しい辺（二等辺三角形など）が出てくるかと思いました。
しかし、出てこなかったので、面積からアタックしてみたらできた（と思っていますが）。
(5)～(6)のところが、うまく説明できていないかもしれません。

No.3 回答者： debut 回答日時： 2009/11/30 11:12

問題は

「辺AB上に点Q、辺AD上に点Pがある。辺AQは４cm辺APは３cm。点Pと点Qをそれぞれ点Cで結ぶと四角形AQCPができます。角PcQの角度は何度になりますか？」
と、ＣとＤを入れかえればいいんですね？

小学６年に「辺が３，４，５の直角三角形」の知識があれば（どうなんでしょ、微妙）なのですが、次のようにすれば４５°とわかります。

・ＡＤをのばして、Ｄから２cmのところに点Ｒをとります。
・三角形Ｃ ＢＱと三角形Ｃ ＤＲは同じ三角形でＣ Ｑ＝Ｃ Ｒ、角ＱＣ Ｒは９０°です。
・三角形ＡＰＱで、ＡＰ＝３cm、ＡＱ＝４cmなので、ＰＱ＝５cmになります。そしてＰＲ＝ＰＤ＋ＤＲ＝５cmなので、ＰＱ＝ＰＲとなります。
・以上より、三角形ＰＣＱと三角形ＰＣＲは３つの辺の長さがそれぞれ同じになっているから、同じ三角形（合同）といえます。
・だから、求める角は９０°の１/２になります。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2009/11/30 10:52

問題を、

「一辺が６cmの正方形ABCDがあり（時計回りにABCD）辺AB上に点Q、辺AD上に点Pがある。辺AQは４cm辺APは３cm。点Pと点Qをそれぞれ点Cで結ぶと四角形AQCPができます。角PCQの角度は何度になりますか？」
として回答します。

正方形の対角線のACとBDの交点をO、BDとQCの交点をRとします。

ΔQBRとΔCDRとは相似で、
BR:RD=1:3
点Oは対角線BDの中点なので、BO=DO
これより、BR=ORであることが分かるります。
OC=ODなので、OR:OC=1:2

DP:DC=1:2　であることから、
ΔOCRとΔDCPは相似となって、∠OCR=∠DCP

∠PCQ=∠PCA+∠ACQ=∠PCA+∠DCP=∠DCA=45°

No.1 回答者： DIooggooID 回答日時： 2009/11/30 00:00

正方形ABCD ならば、辺ＡＣ　という表現はおかしいです。

　

頂点Ａ　と　頂点Ｃ　は、それぞれ対角に位置しています。

なにか、転記ミスか、あるいは、勘違いなさっていませんか？

この回答への補足

すいません(>_<)
ＣとＤを間違えていました。

補足日時：2009/11/30 00:15