静電場ベクトルをE,電位をΦとすると
E=-gradΦ
の関係式がありますが、ある参考書によると球対称な静電場では、積分区間を[r,∞]として
Φ=∫Edr
が成り立つと書いてあります。となるとそのような電場においては
-gradΦ=∫Edr
となるはずですが、-gradΦで求めた静電場は(当然ですが)定数が求められない一方で、∫Edrはちゃんと定数も求めることができます。
つまりΦ=∫Edrは-gradΦの上位互換的な求式だと考えられるのですが、この認識は合っていますか?
また、Φ=∫Edrが成り立つ条件は球対称な静電場だということですが、他にはどのような電場に対して成り立って(使えて)、どのような電場だと成り立たない(使えない)のかも教えて下さい。
何だか抽象的な質問ですが、よろしくお願いします。
A 回答 (2件)
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No.1
- 回答日時:
そもそも式変形が間違ってます。
E = -gradΦ
Φ = ∫Edr
を連立させると、Φ = -∫gradΦdr となります。解答者さんの式
-gradΦ = ∫Edr
では、ベクトルとスカラーが等式で結ばれているのでナンセンスです。
電位について。球対称でない「静電場」でも成り立ちます。しかし、「動電場」では電位が定義できません。
高校物理で習った、電磁誘導の式をもちいて説明することができます。
V = dφ/dt (V:起電力 φ:コイルを貫く磁束)
因みに、コイルの形状は任意です。 V=∲Edr を代入すると、
∲Edr = dφ/dt ――――――――(1)
静電場では、時間変化要因がないので、右辺は0になります。
∲Edr = 0
コイルの形状は任意と定めたので、積分経路によらず結果が0。よって、始点と終点が一致する積分経路を新たに与えれば、その値は一意に決まります。
∫Edr = Φ
こうして電位Φは定義されるのです。一般に、電位が定義できる条件は、ストークスの定理を用いて次のようになります。
∲Edr = 0
⇔ ∬rotEdS = 0 (=∬0dS)
∴ rotE = 0
しかし、動電場では(1)式の右辺が0にならず、積分経路によって異なった値を示すので、一意の電位が定義できません。電磁誘導や電磁波がその例です。
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