次の等式を証明せよ。
|1+x^2 x 0 ... 0 |
| x 1+x^2 x : |
| 0 x 0 |
| 0 x 0 |
| : 1+x^2 x |
| 0 ... 0 x 1+x^2|
(ただし、nは行列式の次数)
※見辛いと思いますが、対角線上は1+x^2で、その周りがxで囲まれています。
=1+x^2+x^4+...+x^(2n)
…となっているんですが、本の答えは「帰納法を用いる」だけしか書いてありません。
帰納法のやり方は分かっているつもりですが、どういう式にしてから帰納法を用いればいいのか分かりません。
まずは自分でやってみたのですが:
第n行を第n-1行に足す
第n-1行を第n-2行に足す
:
第3行を第2行に足す
第2行を第1行に足す
| 1+x^2 x 0 ... 0 |
|1+x+x^2 1+x+x^2 1+x+x^2 : |
| 0 1+x+x^2 0 |
| 0 1+x+x^2 0 |
| : 1+x+x^2 1+x+x^2|
| 0 ... 0 1+x+x^2 1+x+x^2|
…これであわよくばどこかの1+x+x^2を消して上三角行列に出来ると思ってたのですが、
消すと他の行にまた-(1+x+x^2)が入ってしまいます。
どのような考え方で解けばいいのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#1さんへのお礼欄のn=3の場合のサラス展開は、
|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|
=(1+x^2)(1+x^2)(1+x^2)-x^2(1+x^2)-x^2(1+x^2)
=(1+x^2){(1+x^2)(1+x^2)-x^2-x^2}
=(1+x^2)(1+x^4)
=1+x^2+x^4+x^6
>それに沿って計算すると、
>k=n-1:
>1+x^2(n-1)
>=1+x^(2n-2)
>=1+ {x^(2n)}/(x^2)
>=1+x^2(n-1)
>ですか?
なにを計算したいのか分かりません。(最初と最後が同じですよ)
T(n)をT(n-1)とT(n-2)の式で表すとは、
与式を1行目で余因子展開すると、
(1+x^2)*
|1+x^2 x 0 ... 0 |
| x 1+x^2 x : |
| 0 x 0 |
| 0 x 0 |
| : 1+x^2 x |
| 0 ... 0 x 1+x^2|
-x*
| x x 0 0 |
| 0 1+x^2 x : |
| 0 x 0 |
| 0 x 0 |
| : 1+x^2 x |
| 0 ... 0 x 1+x^2|
第1項の行列式は、T(n-1)と同じです。
第2項の行列式をさらに第1列目で余因子展開すると、T(n-2)が現われてきます。
T(n)=(1+x^2)*T(n-1)-x^2*T(n-2)
>=(1+x^2){(1+x^2)(1+x^2)-x^2-x^2}
ああ、括り出すんですね。納得です。
>なにを計算したいのか分かりません。(最初と最後が同じですよ)
ですね(恥)。
>T(n)=(1+x^2)*T(n-1)-x^2*T(n-2)
そういう意味でしたか。
予想すらつきませんでした。
もっと勉強してきます。
ありがとうございました!
No.2
- 回答日時:
帰納法を用いるのだから、行列式を直接計算する必要はありません。
n次の行列式をT(n)とすれば、T(n)をT(n-1)とT(n-2)の式で表すことができます。
ありがとうございます。
今、読みました。
それに沿って計算すると、
k=n-1:
1+x^2(n-1)
=1+x^(2n-2)
=1+ {x^(2n)}/(x^2)
=1+x^n
ですか?
あ、さっきの計算間違ってそうです。
k=n+1:
1+x^2(n+1)
=1+x^(2n+2)
=1+{x^(2n)}*(x^2)
=1+x^(2n+1)
…でいいですか?
これも間違えているかもしれません…。
No.1
- 回答日時:
帰納法なんだから、当然 n-1 次の場合に帰着させることを考えるべきでしょう。
定石として、n = 1, n = 2, n = 3 の場合を順に求めてみましょう。
お待たせしました。
n=1:
|1+x^2|
=1+x^2(1)
=1+x^2
n=2:
|1+x^2 x|
|x 1+x^2|
=(1+x^2)^2 - x^2
=1+x^2+x^4
n=3:
サラスの公式では
|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|
=(1+x^2+x^2)(1+x^2)
-x^2(1+x^2)-x^2(1+x^2)
=1+2x^2+2x^4+x^6
-2x^2-2x^4
=1+x^6 ←!?
余因子展開では
|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|
=(1+x^2)(-1)^(1+1)
|1+x^2 x|
|x 1+x^2|
+ x(-1)^(2+1)
|x 0|
|x 1+x^2|
=(1+x^2){(1+x^2)^2 - x^2}
- x{x(1+x^2) - 0}
=1+x^2+x^4+x^6
k=n+1:
1+x^2(n+1)
=1+x^(2n+2)
=1+x^(2n)+x^2
=1+x^2+x^(2n)
…これでいいですか?
あと、追加の質問ですみませんが、サラスの公式での結果が何故か合いません。
どこで間違えてしまっているんでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 数学 数学の問題でモヤモヤしてます 7 2023/08/15 21:49
- 数学 内田伏一著 集合と位相 p34, 問8.4 5 2022/12/17 20:21
- 数学 『因数に分解するということ』 9 2022/06/27 06:14
- 数学 x^4-2x^2+16x-15=0 という因数分解の答えが、 (X-1)(X+3)(X^2-2X+5 4 2022/05/15 16:20
- 数学 ごめんなさい 複雑な質問 n次正方行列の行列式をいかのようにDn(x)とします。それで、この行列の1 3 2022/08/26 14:15
- 数学 編入試験の勉強中に分からないところがあって困っています。線形写像の表現行列に関する質問です。 1 2023/06/17 11:24
- 数学 例えば f(x)=0(x<0), x(0≦x<1), 2-x(1≦x<2) ,0(2≦x) を場合分 3 2023/08/11 16:48
- 数学 数学3の式と曲線の、媒介変数表示の曲線の問題で、わからない点がございます。 次の媒介変数表示された曲 3 2022/04/21 14:52
- 数学 連立微分方程式の解き方について 7 2022/12/16 13:39
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
自然対数Ln(x)からxを求める方...
-
分数式の計算で答えがこうなっ...
-
1/3乗などの計算方法
-
逆関数の求め方
-
9X2乗-6X+1 はどうやった...
-
Mathematicaで恒等式を解く方法
-
漸化式での次数下げ
-
Excel MONTH(A1+11)はなぜ翌月...
-
数列{an} の a1=1 an+1=(7an-1)...
-
1-1+1-1+…=sqrt(2)って証明でき...
-
LU分解
-
数列の和
-
割合の計算の仕方について
-
改良土のCBR
-
約数の総和を求める問題
-
時定数の計算を教えてください
-
高校数学 数IIB なぜ急にx^2-2x...
-
赤枠のところが分かりません。 ...
-
中学数学 a※b=1/3(a+b)とする...
-
高一数学A 二項定理のやり方に...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
自然対数Ln(x)からxを求める方...
-
1/3乗などの計算方法
-
逆関数の求め方
-
改良土のCBR
-
時定数の計算を教えてください
-
9X2乗-6X+1 はどうやった...
-
イコール
-
中学 数学 こういう問題の時答...
-
(X-4)(3X+1)+10 この式を因...
-
小学生の算数:何通りかの計算
-
高校数学 数IIB なぜ急にx^2-2x...
-
20〜200までの自然数の和
-
1/1+1/2+1/3+...+1/100
-
任意定数を消去して微分方程式...
-
nCrの方程式について!
-
分数式の計算で答えがこうなっ...
-
不定形の極限値
-
Excel MONTH(A1+11)はなぜ翌月...
-
因数分解の問題で質問です。 X^...
-
漸化式での次数下げ
おすすめ情報