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x^4-4x^3+ax^2+x+bが、ある整数の平方となるような定数aとbの値を求めよ。
という問題で
【x^4-4x^3+ax^2+x+b=(x^2+cx+d)^2】とおくことができるから
x^4-4x^3+ax^2+x+b=x^4+2cx^3+(c^2+2d)x^2+2cdx+d^2
これが恒等式となるから
-4=2c
a=c^2+2d
1=2cd
b=d^2
(省略)
よって、a=7/2 b=1/16
【 】でくくったところがよく分かりません。
(x^2+cx+d)^2 がどうやって出てくるのか教えてください。
なにか計算があるのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ある整数の平方となる。
=ある整数の二乗となる。
最初の数式x^4-4x^3+ax^2+x+bには,xの4乗が含まれています。
「ある整数」を二乗して,xの4乗が出るなら,「ある整数」の最高次数はxの2乗ですね。
また,この4乗には係数がついていません。
ので,最初の数式が「ある整数」を二乗したものであれば,「ある整数」を(x^2+cx+d)とおいて,(x^2+cx+d)^2とおくことができます。
確認のため,(x^2+cx+d)の二乗を展開すると,
x^4+2cx^3+(c^2+2d)x^2+2cdx+d^2となり,
x^4も,x^3も,x^2も,xも,xのつかない数も出てきます。
基本だ。
No.1
- 回答日時:
>ある整数の平方となるような
は、ある整式の平方ですよね。
【 】でくくったところ、はまさにそのことを表現したものです。
元の式はx^4の係数が1の4次式です。ある整式を平方してこれが
出るのだから、その平方した整式はx^2の係数が1の2次式になります。
だからその式を x^2+cx+d とおいているわけです。
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