A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
解の差が2である、ということですから二つの放物線を連立させましょう。
x^2=-(x-a)^2+b
2x^2-2ax+a^2-b=o
解と係数の関係より、x1+x2=a ,,,,# x1x2=(a^2-b)/2,,,%
x1-x2=2,,,\であるから
#+\: x1=(a+2)/2 ,#-\: x2=(a-2)/2
これらを%に代入して整理すると
b=(a^2+4)/2
となります。(1)が出来れば残りも出来るのではないでしょうか。
No.1
- 回答日時:
設問に入る前に、次の準備をしておきます。
2つの放物線を連立して、次の2次方程式を得ます。
2x^2-2ax+a^2-b=0 ・・・・・・☆
そして、2次方程式の解と係数の関係から、次の2式を得ます。
x1+x2=a、 x1x2=(a^2-b)/2 ・・・・(A)
また、2点P,Qは2つの放物線の交点であることから、次の関係を得ます。
y1=x1^2、 y2=x2^2 ・・・・・・・・(B)
>(1) x1-x2=2が成り立つとき、bをaで表せ。
x1-x2=2 の両辺を2乗して、式(A)の関係を使います。
(交代式 x1-x2 を基本対称式 x1+x2, x1x2 で表す方法です。)
x1-x2=2 かつ x1>x2
⇔(x1-x2)^2=4
⇔{(x1+x2)^2 - 4x1x2}=4
⇔{x^2- 2(a^2-b)}=4 (∵ 式(A)から)
∴b=a^2/2 +2 ・・・・・・・・・・・(C)
>(2) x1-x2=2を満たしながらa、bが変化するとき、直線PQの通過する領域を求め、図示せよ。
式☆の2解を、2次方程式の解の公式と式(C)の条件を使って求めます。
x1,x2={a±√(2b-a^2)}/2=a/2±1
∴x1=a/2+1、 x2=a/2-1 (∵x1>x2) ・・・・・(E)
また、式(D)から、y1,y2 を求めます。
y1=(a/2+1)^2、 y2=(a/2-1)^2 ・・・・・・(F)
直線PQの方程式は、x1,x2,y1,y2 を使って表すと次のようになります。
直線PQ: y-y1=(y1-y2)/(x1-x2) (x-x1) (∵x1>x2)
この直線の式に、式(E)、(F)を代入して整理すると、次のようになります。
直線PQ: y=ax-a^2/4 +1
しかし、このままでは、直線PQの通過する領域 は得られませんので、この式を aについての2次方程式の形に変形します。
直線PQ: a^2-4xa+4(y-1)=0 ・・・・・・(G)
このように変形することで、問題の条件を 式(G)を満たす実解aが存在することに置き換えて考えられます。
その条件は、式(G)の判別式D≧0 ということになりますので、ここから次の条件が得られます。
D/4=4x^2-4(y-1)≧0
∴y≦x^2+1
つまり、求める領域は、次のようになります。
『 頂点(0,1)、軸:x=0 とする放物線y=x^2+1 上の点とその下の領域 』
(つまり、放物線上の点を含むことになります。)
>(3) 線分PQの長さが2を満たしながらa、bが変化するとき、線分PQの中点のy座標の最小値を求めよ。
準備として、線分PQの中点Mのy座標を求めておきます。
(y1+y2)/2
=(x1^2+x2^2)/2 (∵ 式(B)を代入)
={(x1+x2)^2-2x1x2}/2
=b/2 ・・・・・・・・(M)
つまり、「線分PQの中点のy座標の最小値」を求める問題は、 b/2 の最小値を求める問題に置き換えられます。
(従って、後は b の最小値が得られるようにしていきます。)
次に、線分PQの長さの2乗 |PQ|^2 を a,b で表しておきます。
|PQ|^2
=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=(x1-x2)^2+(x1^2-x2^2)^2 (∵ 式(B)から )
=(x1-x2)^2 {1 + (x1+x2)^2}
={(x1+x2)^2 - 4x1x2} {1+(x1+x2)^2} (式(C)を求める際に使った計算を利用)
=(2b-a^2)(1+a^2) (∵ 式(A)を代入) ・・・・・(H)
|PQ|=2ですので、これを式(H)に代入して整理しますと、次の式を得ます。
a^4 -(2b-1)a^2 -2(b-2)=0 ・・・・・・・・・(J)
ここで、設問(2)で使ったのと同様の手法を採ります。
a^2=t(≧0) と置いたとき、式(J)は tについての2次方程式になります。
f(t)≡t^2 -(2b-1)t -2(b-2)=0 ・・・・・・・・・(K)
aの4次方程式である式(J)で実数解が存在することは、tの2次方程式である式(K)で0または正の実解が存在することと必要十分です。
そこで、式(K)に正の実解が存在する条件を求めます。
それは、次の条件を同時に満たす条件です。
判別式:(2b-1)^2+8(b-2)≧0 ∴ b≦-5/2, 3/2≦b
軸: (2b-1)/2≧0 ∴ b≧1/2
f(0)=-2b+4≧0 ∴ b≦2
この3条件を同時に満たすbの範囲を求めますと、次のようになります。
3/2≦b≦2 ・・・・・・・・・・(L)
このbの範囲で、線分PQの中点のy座標の最小値を求めますと、式(M)から 次のようになります。
(答え) 3/4
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