
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
3番目の式は間違いではないですか?
>ax+bx+z=c
ax+by+z=c の間違いでは?
そうであるとして、連立方程式を強引に解けば
x=(1/3)(ab-2a-2b+3c+1)/(a-1)
y=(2-a)/3
z=(1/3)(2a^2-ab-a+2b-3c)/(a-1)
となります。
a≠1であれば (x,y,z)が1組だけ存在するので不適。
なので a=1…(A)でなければならない。
a=1のとき元の方程式は
x+2y+z=1
2x+y+2z=1
x+by+z=c
これを解くと,上の2つの式から
x+z=1/3,y=1/3 …(B)
3番目の式に代入してcについて解くと
c=(b+1)/3 …(C)
この関係が成り立たないと(x,y,z)の解が1組みも存在しなくなるので
c=(b+1)/3
でなければならない。
このとき(B)が成立すれば、3番目の式は常に成立するので1次独立な式ではなくなる。
(B)を満たす(x,y,z)の組は無数に存在する(未知数3個で方程式2つでいわゆる不定形)。還元すれば元の方程式は(B)と等価で1次独立な方程式が2つだけなので、zを任意に与えれば、xは「x=(1/3)-z」,y=1/3なるので
(x,y,z)の組が2組以上存在するという条件を満たしています。
答えは、(A),(C)であることはいうまでも無いですね。
No.3
- 回答日時:
こんばんわ。
普通、未知数 3つに対して条件式が 3つあれば、未知数は決まる=解は 1組になる。となりますね。
ところが、いまの問題は 2組以上あると言われています。
ということは、1組になれないような状況を作り出すことになります。
つまり、「実質的に」
・満たす式は、1つしかない ⇒ 解は、その式で表される平面上の点
・満たす式は、2つしかない ⇒ 解は、2式で表される 2平面の交線
という状況を考えることになります。
#1さんの解答はこのことを式にされています。
「実質的に」というところを「定数倍して辺々加えたら・・・」ということで表しています。
意外と奥深い問題だと思います。
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