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運動方程式まででも良いのでお願いします。

同じ質量mを持つ3つの質点A、B、Cが直線上に左から右へと並んでおり
AとB、BとCはバネ定数kのバネで繋がれている。
さらにAは左側の壁と、Cは右側の壁との間にもバネ定数kのバネで繋がれている。
(重力は考えなくてよい)

(1)
A、B、Cそれぞれの釣り合いの位置からの変位をx1、x2、x3とする。
A、B、Cそれぞれの運動方程式(微分方程式)を書き下ろし

ω=k/mX=(x1 x2 x3)
として3つの運動方程式を((d^2)X)/(dt^2) = -(ω^2)AX の形にまとめると、
A=( 2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 2 )
となることを示せ。

(2)
この系の固有振動の振動数と各固有振動における各質点の相対的変位 (振動モード) を求めよ。

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A 回答 (2件)

まずは問題文や文中の式を書き写す時点で不正確なことをしている。


ちゃんと気をつけて問題文を読んでください。 大学教員としてはその時点で許しがたいという気もするが、それは置いておいて…。

これと同じ問題で質点が2個のバージョンは、定番中の定番で、たいていの教科書に載っています。 それをまずは自分の手でしっかりノートにまとめなおして、考え方を理解してください。
考え方が理解できたら、あとはそれを素直に質点3個に拡張すればOKです。
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つりあい位置にあるときのばねの伸びをaとします。


座標x_{n}にある質点について,

  左にあるばねの伸びは,x_{n} - x_{n-1} + a
  右にあるばねの伸びは,x_{n+1} - x{n} + a

となります。すると合力は,

  -k(x_{n} - x_{n-1} + a) + k(x_{n+1} - x{n} + a)
= -k(- x_{n-1} + 2x_{n} - x_{n+1})

となりますから,運動方程式は

m d^2(x_{n})/dt^2 = -k(- x_{n-1} + 2x_{n} - x_{n+1})

すなわち,Aのn行目は

A_{n,n-1} = -1 , A_{n,n} = 2 , A_{n,n+1} = -1 , その他 0

となります。ただし,第1行と第n行は3つ並びの端が切れるわけです。
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