漸近線をつかうもんだい

漸近線が苦手で問題がとけません

だれか親切におしえてくれませんか？

数列｛an｝についてa(1)>0,a(n＋1)=√(5an＋24)のとき
lim(n→∞)anを求める

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2003/06/03 21:56

#1です。

問題をちゃんとといてみたら、もう少し、ヒントが必要かもしれないので、一応。

|a[n+1]-8|
=|√(5a[n]＋24)-8|
=|(5a[n]-40)/{√(5a[n]+24)+8}|
=|5/{√(5a[n]+24)+8}|*|a[n]-8|
ここで、
√(5a[n]+24)+8>8だから、
0<5/{√(5a[n]+24)+8}<5/8
∴|a[n+1]-8|<(5/8)|a[n]-8|
よって、n≧2のとき、
|a[n]-8|<(5/8)|a[n-1]-8|
と、いうことは、
|a[n]-8|<(5/8)|a[n-1]-8|<(5/8)^2|a[n-2]-8|<・・・
とやっていくと、
0<|a[n]-8|<(5/8)^?|a[1]-8|
というのが求まります。
(?部分は自分で考えてください。)

とりあえず、これくらいにしておきますので、この先がどうしても分からなければ補足へ。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2003/06/03 19:34

|a[n+1]-8|の極限を考えましょう。

ちなみに、8は、「a[n＋1]=√(5a[n]＋24)」
このa[n+1],a[n]にxを代入した
x=√(5x+24)
の解です。