No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ζ(z)についての関数等式によると
ζ(z)Γ(z/2)=π^(z-1/2)ζ(1-z)Γ((1-z)/2)
が成り立つ事が知られている。
そこでz=-1と置いてみると
ζ(-1)=π^(-3/2)・ζ(2)・Γ(1)/Γ(-1/2)
=(π^2)/6・1/(π^(3/2)・(-2π^(1/2)))
=-1/12
・・・が出てくるようである。
-----------------------
Γ(-n+1/2)=(-4)^n・n!(√π)/(2n)!を用いている。
-------------------------
No.3
- 回答日時:
ζ 関数の反転公式は、そこに現れる
ζ(s) と ζ(-s) の内、常に少なくとも一方は
級数表示が発散するようになっていますから、
ζ の解析接続を前提にしなければ、
級数表示だけでは、全く意味を持たない式です。
で、
質問の 1 + 2 + 3 + … は、どうかと言うと、
解析接続以前に s = -1 を代入してしまわないと、
この式形にはなりません。
解析接続してから s = -1 を代入するのならば、
ζ(-1) としか書きようがないはず…
という意味で、質問の式は、マズイのです。
No.1
- 回答日時:
示せません。
その式は、間違っていますから。
ζ(-1) = -1/12 は、正しい式ですが、
これは、1 + 2 + 3 + … とは等しくありません。
ζ(s) = Σ[n=1→∞] 1/n~s が収束するのは、
複素数 s の実部が 1 より大きい場合だけです。
それ以外の s では、右辺の級数は発散します。
解析接続を使っても、Re s > 1 での級数表示と
ζ との間に関連がつけられるだけで、
発散級数が収束するようになる訳ではありませんから、
s = -1 を代入することはできません。
数論に取り組むときも、解析学的に荒唐無稽に
ならないように、よく考えましょう。
どちらも、数学ですから、整合性はとれていないと。
この回答へのお礼
お礼日時:2010/02/21 16:00
回答していただきありがとうございます。
数学ってとてもむずかしいですね。
解析学的に荒唐無稽にならないように、
よく考えてみます。
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