高一の確率の問題です

高一、確率の問題です。

確率が苦手なのでお願いします。

ＡチームとＢチームが試合をし、先に４勝した方を優勝とする。
各試合で、ＡチームがＢチームに勝つ確率は1/2で引き分けはない。
また、前の試合の勝敗は次の試合に影響しないものとする。

(１)3試合終了後にＡチームが２勝１敗である確率は？
(２)４試合終了後にＡチームの優勝が決まる確率は？
(３)６試合終了後にＢチームの優勝が決まる確率は？
(４)５試合終了後に優勝チームが決まる確率は？
(５)優勝チームが決まるまでの試合数の期待値は？

自分にはさっぱりです。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： nora12 回答日時： 2010/02/10 19:50

　同じく確率が苦手な高校生ですが・・・

　(1)は他の回答者様が回答してくださっているので、(2)を解いてみたいと思います。
　題意からすると4試合目にAが勝つとAの優勝が決まるということですから、３試合やって三回ともAが勝てば良いということになりますね。だからこれをCを使ってあらわすと・・・
　
　 3C3 × (1/2)^3 × 1/2　＝　1/16
　　
　　3C3・・・3回試合してAが3回勝つ組み合わせ
(1/2)^3・・Aが3回勝つ確率
　　1/2・・・Aが4回目に勝つ確率
　　1/16・・求める確率　　　　　　となります。
　　
　　　もし違っていたら申し訳ありません。
　　　もしあっていたら参考になればと思います。
　　　人のことは言えませんが・・・勉強がんばってください！

No.2 回答者： fagott9 回答日時： 2010/02/09 19:58

宿題の答えを教えるのはよくないと思うのでヒントだけ書きます。

宿題じゃなく試験勉強だとしてもこの方が実践で役立つと思いますし＾＾


まず「各試合で、ＡチームがＢチームに勝つ確率は1/2で引き分けはない。また、前の試合の勝敗は次の試合に影響しないものとする。」という条件があるので、「Ａチームが勝つ」（以後、事象Ａとします）という事象と「Ａチームが負ける」（こちらはＢチームが勝つということなので、事象Ｂとしましょうか）という事象の起こる確率はどちらも1/2ですね。
これくらいは質問者さんもお分かりだと思いますが、これは試験を受けるときの鉛筆と消しゴム並みに重要です。
この時点でつまづかれてる場合は素直に職員室へ行って先生に教えてもらってください。

それでは各問題の方へ。
（１）Ａチームが２勝１敗すると言うことは、事象Ａが２回、事象Ｂが１回起こるということですね。
これだけなら簡単ですが、全３回の試合中に事象Ｂが何試合目で起こるのかも考えなければなりません。

（２）４回勝てば優勝で試合数が４回、ということは簡単ですよね＾＾
ここまでは試合数も少ないので分かりにくければ樹形図を描いてみてください。

（３）今度は試合数が多いですね・・・。
「先に４勝した方を優勝とする。」という条件なので事象Ｂが４回、事象Ａが２回ということは分かりますね？
試合数が６回で事象Ａと事象Ｂのどちらかしか起こりませんから。
ここでまた順番を考えなければいけませんが、さきほどの条件から６試合目が事象Ｂであることは明らかですよね？
これを見逃すと答えがずれる＆計算がめんどくさいという最悪な事態に・・・。
ということで、１試合目から５試合目で事象Ａがどこに２回起こるかを考えてみてください。

（４）まずＡチームが優勝する場合を考えてみましょう。
これは３問目が解ければ同じ要領でできるはずです。（しかもちょっと簡単）
次にＢチームの場合についても考えていくのですが、どちらが優勝する確率も一緒であることに気付けば１回掛け算を増やすだけで答えが出るはずです。

（５）期待値の計算の仕方は教科書に載っているので省略します。
「優勝チームが決まるまで」とあるので途方も無い話のように見えますが、引き分けにならない以上、試合数に限度があるようですね。
それを見つけて、○回で優勝する確率・・・、△回で優勝する確率・・・と、順に計算していけば答えが出ます。
４問目同様、両チームが優勝する場合を考えなければなりませんが、逆に言うと４問目の答えを利用できる上に他の確率も同じ要領で解けます。


以上ですが、ヒントのつもりで答えていたのに殆ど答えですね・・・＞＜；
確率の問題は最初の答えを後の問題に利用する（４問目や５問目のような問題）が多いです。
最初を間違えると全ての辻褄が合わなくなるので注意してください！
樹形図や表などにして描いてみるのも分かりやすくなるかと思います。

またこの回答を見ている方々で、間違いに気付かれたりもっと分かりやすいヒントを出せる方は訂正等お願いします。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
自分はどうもこの単元が苦手だったので
適切なヒント、解説をしてくださり、ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/10 12:39

No.1 回答者： japaneseda 回答日時： 2010/02/09 19:33

反復試行の『確率』ですね！！

実際に紙にシミュレーションしましょう！

（１）なら、、、、
A A B B A A A B A 見たいに！！！
すると、どこでＡを２回勝たせようか？　３Ｃ２
Ａを二回勝たせる　（１/２）＾２←知恵袋では二乗を意味します！
Ｂを勝たせる１/２

Ａを勝たせたあと、さらにＢを勝たせるので、確率は低くなるよね？

よって　３Ｃ２×（１/２）＾２×１/２でしょうか？