極方程式

次の直交座標に関する方程式を、極方程式で表せ
ｘ－√3ｙ－２＝０

ｒ(cosθ－√3sinθ)＝２
ｒ｛cosθ・1/2＋sinθ・(－√3/2)｝＝１
までは理解できたのですが
なぜ
ｒcos(θ－5π/3)＝１
になるのかが分かりません
どうやって変形したのか教えていただけませんか？

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/13 00:18

三角関数関数の合成の式を習いませんでしたか＞

どの教科書にも書かれているはずです。

公式：a*cosθ-b*sinθ=√(a^2+b^2)cos(θ+A)
[導出法]
a*cosθ-b*sinθ
=√(a^2+b^2)[cosθ*{a/√(a^2+b^2)}-sinθ*{b/√(a^2+b^2)}]
=√(a^2+b^2)(cosθcosA-sinθsinA)
ここで、cosA=a/√(a^2+b^2), sinA=b/√(a^2+b^2) とおく。
=√(a^2+b^2)cos(θ+A)

を適用しているだけです。

三角関数の合成法は、三角関数の展開公式を逆に使っているに過ぎませんね。

>｛cosθ・1/2＋sinθ・(－√3/2)｝
＝cosθ・1/2-sinθ・(√3/2)
とした方が分かりやすいか知れません。

ここで
1/2=cos(π/3), (√3)/2=sin(π/3)とおけば
＝cosθcos(π/3)-sinθsin(π/3)
＝cos(θ+(π/3))
＝cos(θ+(π/3)-2π)
＝cos(θ-5π/3)
となります。

単位円を習っていたなら、単位円を描いて見ると理解しやすいでしょう。

この回答へのお礼

細かく説明してくださり、ありがとうございます

お礼日時：2010/02/13 00:24

No.1 回答者： proto 回答日時： 2010/02/13 00:02

三角関数の合成ですね。

　　1/2 = cos(-5π/3)
　　√3/2 = sin(-5π/3)
ですから、
　　r*(cos(θ)*1/2-sin(θ)*√3/2) = r*(cos(θ)*cos(-5π/3)-sin(θ)*sin(-5π/3))
ここからcosの加法定理の逆をやって
　　　　 = r*cos(θ+(-5π/3)) = r*cos(θ-5π/3)
です。

要は
　　cos(α+β) = cos(α)*cos(β)-sin(α)*sin(β)
の逆をやって
　　cos(α)*cos(β)-sin(α)*sin(β) = cos(α+β)
の変形をするわけですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます
おかげで助かりました

お礼日時：2010/02/13 00:20