有効数字の桁数合わせがいまいち理解できません

Question

mol質量やmol濃度の計算問題を訳あって勉強している社会人です。
いまいち納得できない部分があるので質問させていただきました。 
問題に対する式は立てられるのですが、いつも最後の有効数字を丸める部分で間違えてしまいます。
有効数字を用いた乗法や除法は「計算に使った数値の内、最も有効数字の桁数が小さいものに合わせる」はずだと思ったら

初歩的な問題ですが
問　水150mlに水酸化ナトリウムＮＡＯＨ10.0gを溶かした水溶液がある。
ＮＡＯＨの原子量を40.0としたときのこの水溶液のmol濃度を求めよ。

150ml:10.0ｇ = 1000ml:Xｇ
　　　　　 X = 66.666....
まだ計算の途中なので有効数字の桁を１つ多めにとって
           X = 66.67　として
66.67÷40.0 = 1.66675 

最初から最後までに使用した数値の内、有効数字３桁が最小だと思うので
答えは　1.67mol/l　として解答をみると

「1.666...mol/lゆえに　答え 1.7mol/l」　となっています。
この場合、なぜ小数第２位を四捨五入したのかが理解できません。
どなたか分かり易く説明していただけると幸いです。

c80s3xxx · Accepted Answer

原文を見る限り，正解は以下のようでなくてはなりません．
150mL の水と 10.0g の水酸化ナトリウムで，160g の溶液ができます．この比重が 1.05g/cm3 であることより，160/1.05 = 152.38... mL の溶液ができます．この中には 10.0g = 10.0/40.0 mol の NaOH が含まれているので，モル濃度は (10.0/40.0)÷(160/1.05/1000) = 1.640625 mol/L．
有効数字は，3桁ですから，1.64 mol/L です．
有効数字の処理は，あなたの処理で正解です．
問題集の文章を読む限り，1.666... にしている点ですでに間違っていますし，さらに有効数字の扱いも間違いです．その本は捨てた方がいいかもしれません．
なお，上の計算では水の比重が与えられていないので，1.00 g/cm3 としました．25℃では0.99707 g/cm3 ですから，有効数字3桁では 0.997 としなくてはならず，水の質量は149.55g となります．有効数字3桁では150ですが，計算途中では149.6 で計算すると，また少し違ってきますが．

waamos · Answer

実際上は他の回答者様のアドバイス通りですので、
必要ないかもしれませんが、なぜ1.7と表記すべきかという蛇足を。

有効数字の桁数は、基本的には誤差評価の問題になります。

　最小目盛りが1mmの定規で、本当は11.44mmの棒を計ったとします。
11mmと12mmの中間あたりが、棒の長さに見えるはずですので、
目分量の0.5mmを足して、11.5mmという測定値を得たとします。
この場合確実な２桁に、ある程度の不確だが無意味ではない１桁が
くっついているという解釈になります。有効数字は３桁です。

見た目で11.3mm以上、11.7mmに見えるのであれば、誤差範囲をつけて
「棒の長さは11.5±0.02mm」と表記します。誤差そのもの（絶対誤差）は
0.02mm、測定値に対する誤差の割合（相対誤差）は0.02/11.5 ≒ 2%です。
誤差範囲を明示する場合は括弧で表記したりします。
　3.4(2) mol = 3.4±0.2 mol
誤差範囲が明示されていなければ、末尾に±1程度の誤差が含まれていると
解釈する習わしになっています。

　さて、誤差のある測定値を四則計算すると、以下のルールにのっとって
計算結果に誤差が伝わります。

　足し算、引き算は、絶対誤差の和が計算結果の誤差
　　1.28(1) g ＋ 1.6(1) = 1.88(11) g ≒ 1.9(1) g
　
　掛け算、割り算は、相対誤差の和が計算結果の誤差
　　10.0(3) g ÷ 40.0(1) g/mol = 0.250(8) mol
　
　　　10.0(3)の相対誤差 0.3/10.0 = 3%
　　　40.0(1)の相対誤差 0.1/40.0 = 0.25%
　　　計算結果の誤差 0.250×3.25% ≒ 0.008


ご質問の場合、計算する量は
　10.0g　÷ 40.0 g/mol ÷ 150 mL = 1.666… mol/Lです。
　
習わしにのっとって、明記されていない誤差を全て(1)だと考えると、
計算結果の相対誤差は 0.1/10.0 + 0.1/40.0 + 1/150 ≒ 2% です。
したがって、元の値から伝わった誤差は1.666…×2% ≒ 0.03 mol/L。
真の濃度が取り得る値は1.6366… ～ 1.6966… mol/Lです。

仮に1.67 mol/Lと表記すると、1.67±0.01 mol/Lと解釈されますので、
真の濃度が、範囲から外れてしまう可能性があります。

1.7 mol/Lなら、1.6～1.8 mol/Lと解釈されますので、真の濃度が取り得る範囲を
全てカバーしています。こういう理由で、1.7と書いてあるのだと思います。
（ここまで神経質になる必要があるかどうかは別として）

こういう誤差や有効数字の扱いは、John R. Taylor著『計測における誤差解析入門』に
素晴らしい説明が載っています。少々お高い教科書ですが。

sewingcough · Answer

有効数字の求め方についてですが、本当は結構面倒なんですよ。
小数点第何位でとか桁数でとか決まっているわけではありません。
要は、「その計算がどれだけの精度で確かか」を表すものなので。
結果に一番影響の出るところでは、
足し算引き算の答えは小数点第何位で有効数字を求め、
掛け算割り算の答えは桁数で有効数字を求める必要があります。
最終的にはそれが組み合わさって計算結果が出るわけだから
本当は「最後だけ丸めればOK」というわけにもいきません。
（まあ実験結果を解析する場合、私も普段はそうしてますが・・・）

ちなみに計算過程で「有効数字の桁を１つ多めにとって」というのは、
私の知る限りでは近似的に非常にいい計算のやり方です。
そうやって計算していくと、その有効数字内で考える限りは
誤差が増幅していかないことが知られており、
そうして最後に有効数字で丸めた結果というのは
まじめに有効数字を考えて出した結果と結構よく一致します。
ですので、高校時代は私もそうやって計算していました。

で、最後の「有効数字は３桁か？２桁か？」についてですが、
おそらく３桁でいいと思います。私ならばそうしますし、
少なくとも大学入試でそうして減点にされることはないでしょう。
なにしろ大学の先生でも有効数字の考え方はあやふ・・・げふげふ。
いや、分析化学の先生とかは非常によく概念を理解しておられます。
じゃあ２桁で間違いかというと、それでも間違いではないと思います。
例えば150mLの精度が２桁か３桁か判らないと主張されたらアウトですし、
いや重さが0.5gの精度だと主張されても２桁に有効数字２桁になり得ます。
そういうこともあって、面倒くさいので１桁にするなど極端な場合を除いて
大学入試では有効数字についてはあまり問わないことになっているようです。

BookerL · Answer

＞この場合、なぜ小数第２位を四捨五入したのかが理解できません。

私にも理解できません。(^_^)

まず、問題自体が不適切です。

「水150mlに水酸化ナトリウムＮＡＯＨ10.0gを溶かした水溶液がある。」

まず、ナトリウムの元素記号が ＮＡ ではなく Ｎａ であることは置いておくとして、水 １５０ｍＬ に水酸化ナトリウムを溶かすと、水溶液の体積は １５０ｍＬ ではなくなってしまうので、その条件からモル濃度を正確に計算することはできません。
　正確なモル濃度の溶液を作るには、「ＮａＯＨ １０．０ｇ を溶かして １５０ｍＬ にした水溶液」のようにしなくてはなりません。

そうして作った水溶液として、計算自体は、質問者の書いていらっしゃる経過で １．６７ としていいと思います。「計算の途中なので有効数字の桁を１つ多めにとって」というのも正しい処理です。ただ、今回の問題では途中で分けず、

（１０．０÷４０．０）÷１５０×１０００

のように、一つの式にまとめてしまえば、途中計算の処理はしなくてもいけますね。（式の中の括弧はなくても計算には関係ありませんが、見やすいようにつけただけです）

その問題はどこにあったものでしょうか。ちゃんとした問題集でしょうか。でなければ、たぶんその解答は学力の怪しい学生がアルバイトで作ったようなものかも知れません。

blue_rose · Answer

こんにちは

このような、実験などの問題の場合、＃１さんの言われるように、有効数字は、小数点以下の一番大きな桁までになると思います（正確には、各要素の測定単位の誤差外の一番大きな末尾の桁になるのかと思います）。

たとえば、1mlごとに目盛の刻んであるメスリシンダーで、水10.5mlを測ることはできませんが、目分量で目盛の中間ぐらいにあるからといってあわせることはできます。しかし、この0.1ml単位は誤差を含むので有効数字ではありません。おそらくこの10.5mlであろう水の容積xは10.0ml＜x＜11.0mlになると思います。少数点第1位は誤差を含みます。
しかし10mlを測定する場合、容積Lは9＜L＜11になり、誤差はプラスマイナス1ml以下です。小数点以下の誤差しかありません。
ということで、小数点以上はすべて有効になります。

また、質問者様のように考えると、10mlと5mlを加えたとき、15mlではなく20mlになってしまいます・・・10mlと10mlでも20ml・・・

じゃあ問題の150mlは小数点以下がないのでは・・・となってしまいますが、答えの単位（mol/lですの、リットル）から、0.150（L)になります。

ですので、小数点以下が一番大きな測定結果にあわせる、ということになるかと思います。

Mechirun · Answer

最終的な有効数字を出す前に小数点第2位で丸めていますね。
それだと式が3重,4重になるとどんどん丸められていくので、全体で一つの式として表すようにしてください。そうすれば最後で丸めるだけで済みますから。
それと有効数字は桁数ではなく、小数点第何位までかと言う意味だったように記憶してますが。

また、細かいようですが…
ナトリウムはNAではなくNaですから大文字,小文字の区別はしっかりと行うように気をつけましょう。

有効数字の桁数合わせがいまいち理解できません

原文を見る限り，正解は以下のようでなくてはなりません．

実際上は他の回答者様のアドバイス通りですので、

有効数字の求め方についてですが、本当は結構面倒なんですよ。

＞この場合、なぜ小数第２位を四捨五入したのかが理解できません。

こんにちは

最終的な有効数字を出す前に小数点第2位で丸めていますね。

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