自分の回答に自信がありません

現在海外の大学で勉強している者です。先日あるBusiness関連のクラスで以下のような問題がテストで出たのですが、ちょっと自分の回答に自信がないので詳しい方に教えて頂きたく質問させて頂きました。


問題（英文)：Chris turned 35 years old today and would like to retire by the time of his 60th birthday. Now he plans to invest $2000 annually into his company pension plan that promises to return 9% annually. If his first payment is $2000 on his 36th birthday and his last $2000 payment is on his 60th birthday, what will be the value of this investment on his 60th birthday?

日本語訳：クリスは今日、３５歳になりました。彼は６０歳の誕生日までには退職したいと思い、それまで毎年＄２０００をそれぞれ９％の利子がつく彼の会社の年金プランに払っていく事を計画しています。もし彼の最初の支払いが＄２０００で３６歳の誕生日に行われ、また最後の支払いが＄２０００が６０歳の誕生日に行われたら、彼の６０歳の誕生日においての投資額（総額）はいくらになるでしょうか？


以上が問題の中身なのですが、これを計算する時にこれがAnnuity Due（期首払い）なのかOrdinary annuity（期末払い）の問題なのかで使う計算式が違うため混乱しています。自分は最初の支払いと最後の支払いが３６歳と６０歳の誕生日に行われているので、即ち、「それぞれのピリオドの最初」に支払いが行われていると判断し「期首払い」の計算式を使って計算したのですが、友人はこれは「期末払い」だと言います。どちらが正しいのでしょうか？


「期末払い」なら式はおそらく
$2000×[（１＋0.09）の25乗－１]÷0.09となり

「期首払い」なら
$2000×[（１＋0.09）の25乗－１]÷0.09×（１＋0.09）となると思います。

教科書に載っている例文などでは、明確に「年の初めに支払った」などと言った表現がされているので特に混乱しなかったのですが、この問題のように誕生日などで問われると急に自分の判断に自信が持てなくなりました。この問題の場合、一体どちらの式を使って計算するのが正解なのでしょうか？ 詳しい方、是非教えて頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： blooks 回答日時： 2010/04/04 23:40

No.1,2です。

数学の視点からは「期首払い」と「期末払い」にこだわる必要はないと思います。
テキスト等に「期首払い」の式や「期末払い」の式が示されていて、その式を丸暗記して使っているのなら、「期末払い」の式を使うことになります。

「期首払い」なら誕生日から翌年の誕生日の前日までが１年間です。
スタートは３６歳の誕生日、１回目の支払いは３６歳の誕生日になります。
また６０歳の誕生日から始まる１年間はまだ経過していないので、利息は発生していません。

そこで３６歳の誕生日から６１歳の誕生日の前日までの２５年間で計算して１年間さかのぼる（1.09で割る）。
または３６歳の誕生日から６０歳の誕生日の前日までの２４年間で計算して６０歳の誕生日の支払額を足すかです。

「期末払い」なら誕生日の翌日から翌年の誕生日までが１年間です。
スタートは３５歳の誕生日の翌日、１回目の支払いは３６歳の誕生日になります。
また３５歳の誕生日の翌日から始まる１年間はまだ支払っていないので利息は付きません。

この回答へのお礼

わかりやすい回答をわざわざ何度も有り難うございました。今回のテストまで３級程度の簿記は勉強したことはあるものの、今回のような計算については全くの素人でなかなか理解できませんした。更に教科書が全て英語なのでそれが理解の妨げに余計拍車をかけていた感じです。回答者様の解説でようやく納得できました。有り難うございました。

お礼日時：2010/04/05 18:31

No.3 回答者： otonen 回答日時： 2010/04/04 22:02

こんばんは。

残念ながら、期末払いの式が正しいと思います。

最初のスタート地点は35歳の誕生日です。1回目の支払は1年後の誕生日に行われますので、期末払いと考えることが正しいと思います。

仮に、期首払いの式を用いた場合、どのような意味になるかと申しますと、35歳で1回目を支払って、59歳の時に25回目の支払いが完了し、残りの60歳になるまでの1年間は、9％で運用した場合の金額になってしまいます。

ただ、問題分では60歳の誕生日で支払いが完了したとありますので、期首払いの式を使ってしまいますと、問題分の指示からずれてしまいます。

繰り返しになりますが、この問題のスタートは35歳の誕生日、1回目の支払は1年後です。

そのため、期末払いの式を用いることになります。

余談ですが、計算自体は年金終価係数を用いた一般的な問題ですので、エクセル使えばすぐ金額はでますが、こうやってテスト等で出題されると難しく感じますね。

頑張ってください！

この回答へのお礼

わざわざ回答して下さって有り難うございます。３５歳にやはり注目して考えなければいけないんですね。あまり３５歳という数字は深く気にしていなかったので、根本的に最初から定義の理解がおかしかったみたいです。詳しい解説でよくわかりました。有り難うございました。

お礼日時：2010/04/05 18:34

No.2 回答者： blooks 回答日時： 2010/04/04 21:09

「期首払い」と考えるなら

25年分を求めて期間1年をさかのぼる（初項1.09、公比1.09の等比数列の第25項までの和を1.09で割る）
$2000×［1.09×（1.09の25乗－1）÷（1.09－１）÷1.09］

または24年分を求めて25年目期首の支払額を足す（初項1.09、公比1.09の等比数列の第24項までの和に$2000足す）
$2000×［1.09×（1.09の24乗－1）÷（1.09－１）］＋$2000

No.1 回答者： blooks 回答日時： 2010/04/04 20:09

「期末払い」の式とされている方が正解です。

「期首払い」と考えるなら１年目の期首から２５年目の期首までの２４年間です。
「期末払い」と考えるなら１年目の期末から２５年目の期末までの２４年間です。

最初の３６歳の誕生日の支払分は２４年間、３７歳の誕生日の支払分は２３年間、以下同様に５９歳の誕生日の支払分は１年間、６０歳の誕生日の支払分は０年間です。
これらの総合計は、

$2000×（1.09の24乗＋1.09の23乗＋・・・＋1.09の1乗＋1）

括弧の中は初項１、公比1.09の等比数列の第25項までの和です。

$2000×［1×（1.09の25乗－1）÷（1.09－１）］