連立方程式 加減法について

連立方程式　加減法について
ぼくは、今２年生でこの前、数学で連立方程式を習ったところです。
そこで僕は疑問に思いました。
代入法は、意味がわかるけれど、加減法は、なぜ２式を加減して解を求めることができるのでしょうか？
やり方はわかるけれど、なぜその方法でできるのだろうと思いました。
わかる人は教えてください。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/04/19 22:35

連立方程式

Ａ＝０
Ｂ＝０

があった時、Ｃ＝Ａ＋Ｂを計算すると
Ａ＝０
Ｃ＝０

も成立します。


逆にこの連立方程式があった場合、Ｂ＝Ｃ－Ａなので元の連立方程式
Ａ＝０
Ｂ＝０

も成立します。

ということで、Ｃが簡単になるように頑張るんですね。

No.2 回答者： OMTOMC 回答日時： 2010/04/19 22:41

連立方程式の最終目標を考えてみましょう。

文字はxとyとします。代入法において最後はx=、y=の形になりましたよね？
つまりどうにかしてイコールの形にもっていきたいわけです。
代入法は二式の共通の文字をイコールでつなぎ、式中の文字を一つにします。
この形にすることで方程式が解けるようになりました。

では加減法はというと二式の加減によって一つの文字を消去してますよね？
するとただの方程式になります。

つまりここでの最終目標は式中の文字の数を一つにし、方程式一つで解ける状態にするです。
代入法、加減法はそこに行き着く経路の違いです。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2010/04/19 22:44

Ｘ＝Ｙ

Ｐ＝Ｑ
という２つの式があるとき
Ｘ＝Ｙ＝Ｚ
Ｐ＝Ｑ＝Ｒ
というＺ，Ｒを考えることができます。
Ｚ+Ｒ＝Ｘ+Ｐ＝Ｙ+Ｑ
つまり
Ｘ+Ｐ＝Ｙ+Ｑ
これが式の各辺を足してもよい根拠です。
+を－に替えれば各辺を引き算してよいこともわかります。

No.4 回答者： noname#111804 回答日時： 2010/04/19 23:10

中学2年生でそんな質問をするのはすごいと思います。

なぜなら、私が中学2年生のときはそんな疑問は持たなかったからです。

むかし、その疑問に答えるべく研究していた数学者がいて
そこから今の行列式が出来上がったのです。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/20 00:28

ax+by+c=0

px+qy+r=0

加減法ってのは
(ax+by+c)-(px+qy+r)(a/p)=0
の左辺を整理することで、

代入法ってのは
a{-(qy+r)/p}+by+c=0
の左辺を整理することですよね。

御託はともかく、展開してみれば
同じ式でしょう？

なぜ同じ式になるのかは、

ax+by+c=0
x+(q/p)y+(r/q)=0

と変形してから
加減法と代入法を比較してみれば
解ると思いますよ。

No.6 ベストアンサー 回答者： sfkawauso 回答日時： 2010/04/20 08:09

中2の連立方程式ということで，与えられた二つの式の変数xとｙの次数は1(だろう)として，与えられた式を

ax+by=cとdx+ey=fとする
ax+by=cのcを左辺に移行して
式1 ax+by-c=0
同様にdx+ey+=fのfを左辺に移行して
式2 dx+ey-f=0
式1と式2のどちらの式も満たす(x,y)の組(求める解)がひとつ存在するとすると式1=式2=0ですから
ax+by-c=dx+ey-f=0 となり
式1-式2は
ax+by-c-dx-ey-(-f)=0
上の式をxとyについて整理すると
(a-d)x+(b-e)y-(c-f)=0
それでb-e=0のとき(a-d)x+0-(c-f)=0なので
(0には何をかけても0。yの値は関係なし)
(a-d)x=c-f
よってx=c-f/a-d
同じくa-d=0のとき
0+(b-e)y-(c-f)=0なので同様に
y=c-f/b-e
あらかじめ式1と式2の差のyの係数b-e=0なりxの係数a-d=0となるように，式1なり式2の全体に0以外の数字をかけて二式の差を求め，(x,y)を求めるのが加減法なのでは。
なおb-e=0のときa-d=0，もしくはa-d=0のときb-e=0ならば，2つの式を一度に満たす(x,y)はありません。(0で割ることはできないので)

No.7 回答者： sfkawauso 回答日時： 2010/04/21 08:41

くどくてすいません，2回目の回答です。

「加減法」と「代入法」とまったく別のことをやっていると捉えるから，理解が難しくなっているのかもしれません。
二つの式からx,yのどちらかを消去し，変数がひとつの式を得るための方法に，「代入法」と「加減法」がある。「代入法」は与えられた式の片方をたとえばy=ax+cの形に変形してからもう一方に代入してyを消去するのだけど，「加減法」はy=ax+cの形に変形しないまま，片方の変数を消去すると考えればよいのでは。なぜ変形しないで消去できるのかといえば，ここの説明はうまく思いつかないのですが，求める解の組(x,y)は両方の式を満たすので。