連立方程式と普通の方程式の関係について

2x-y= -1・・・・・(1)
3x+y= -4・・・・・(2)

という二つの式があった場合
この二つの式を変形して

y=2x+1
y=-3x-4

として

2x+1= -3x-4
5x+5=0.....................(3)

この方程式(3)の解が方程式(1)(2)の交点のx座標と一致しますが

あまり理解ができません。
グラフに書いて一致してるのはわかります。

ただ、この(1)(2)を合体させて5x+5=0となった時点で、もう元の式2つとは、かけ離れているような気
がするのです。

なぜ合体させて5x+5=0となったものが元の式と関連があるのでしょうか
それがなぜ関連するのかわからないのです。

数学的にそうなるから、としか言えないんですかね。

No.1 回答者： mnakauye 回答日時： 2013/09/21 21:13

　こんにちは。

　まず連立方程式ですが、

　この場合２つの式がありますが、どのステップでも

　必ず二つの式があるのです。


　最初は
　2x-y= -1・・・・・(1)
　3x+y= -4・・・・・(2)

　の二つ、

　次は、ステップ２
　　y=2x+1・・・・・・(1’)
　　y=-3x-4・・・・・(2’)

　次はステップ3
　　y=2x+1・・・・・・・・・(1’)
　　2x+1= -3x-4・・・・・(3)

　次はステップ4
　　y=2x+1・・・・・(1’)
　　5x+5=0.・・・・・(3)

　次はステップ5
　　y=2x+1・・・・・(1’)
　　5x=-5.・・・・・(3)


>ただ、この(1)(2)を合体させて5x+5=0となった時点で、もう元の式2つとは、

>かけ離れているような気がするのです。


　かけ離れてはいません。

　ついてきているもうひとつの式がなければ解けません。

　ステップ3からのもうひとつは、１’２’のいずれか一方です。

　なぜなら１’２’の二つから（３）が出て来たので、

　１つになったわけではないのです。

　もうひとつは、くどいので書かないだけのことなのです。

　それを忘れてはなりません。


　あなたはあまりにも式変形の操作にだけ目を奪われています。

　問題の本質を見るようにしましょう。

　操作は、問題を解くという仕事を楽にするためのもので、

　操作だけを見ていると数学と言うものの面白さが見えなくなります。

　その操作（式変形）がどのような考えからでてきたものかを

　最初の説明のときにしっかり理解しましょう。

　そうでないと操作はわかっても、なぜそうするのかが、

　置き去りになります。

　　すると面白さが飛んでしまうのです。

　なぜそうするのかを考えること、

　それが数学を理解する良い方法です。
　

この回答への補足

ありがとうございます。

>ステップ3からのもうひとつは、１’２’のいずれか一方です。
。

ここの部分の意味がよく理解できませんでした。
数学が苦手なもので詳しく教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

補足日時：2013/09/21 21:37

No.2 回答者： anomalo 回答日時： 2013/09/21 21:35

この問題は(1)(2)の2直線の交点を求める問題ということでいいのでしょうか？

連立方程式としての解法は他に(1)-(2)と式全体をひっ算を利用して引き算してxの一次方程式にする、という方法もあります。

質問者さんがしている計算方法は代入法といい、

y=2x+1
y=-3x-4

において、「上の式でy=2x+1って言ってるんだから下の式のyに(2x+1)のかたまりを代入してもいいんじゃね？」という考え方です。
これにより

2x+1= -3x-4

となるわけです。これを同類項でまとめると5x+5=0となります。

＞ただ、この(1)(2)を合体させて5x+5=0となった時点で、もう元の式2つとは、かけ離れているような気がするのです。
さて、この「かけ離れている」という感覚、私としては「異なっている」という点では間違っていないと思います。
連立方程式は

２つの二元一次方程式（文字が二種類でてくる一次方程式）を今まで習ってきた一元一次方程式（文字が一種類でてくる一次式）に変えて解きやすくして解く

という考えのもとに成り立っています。ですので確かに(1)(2)は二元一次方程式、(3)は一元一次方程式と異なっています。しかし、かけ離れてはいません。(1)(2)を変化させたことでできるのが(3)であり、原因と結果のような関係性は十分にあります。

ひとつ言わせていただくと(3)で止めるのはどうかと思います。(3)は結果ではなく途中式です。途中式は数学的に間違っていなくとも、現実的に考えると意味の通らない場合は多々あります。

y=2x+1
y=-3x-4

においてyを共有(介在)し、

2x+1= -3x-4

となるところはわかっていただけると思います。これを解くと

二式のyを共有するときのx、つまり二式で共有するxとして

x= -1

このxのときのyを求める、として(1)または(2)に代入します。
ですので、最後まで考えていただけると「かけ離れている」感覚は薄れるかと思います。

No.3 回答者： Nakay702 回答日時： 2013/09/21 21:36

＞2x-y= -1・・・・・(1)

＞3x+y= -4・・・・・(2)

＞二つの式を変形して
＞y=2x+1
＞y=-3x-4

＞2x+1= -3x-4
＞5x+5=0.....................(3)

＞この方程式(3)の解が方程式(1)(2)の交点のx座標と一致しますが
＞あまり理解ができません。グラフに書いて一致してるのはわかります。

＞ただ、この(1)(2)を合体させて5x+5=0となった時点で、もう元の式2つとは、かけ離れているような気がするのです。
＞なぜ合体させて5x+5=0となったものが元の式と関連があるのでしょうか
＞それがなぜ関連するのかわからないのです。

⇒(1)だけや(2)だけを満たす数値はいっぱいありますね。
(1)と(2)を合体させて求められた数値は、その(1)と(2)のどちらをも満たす、という意味です。そして、この場合それは１か所しかありません。

方程式(3)の解を(1)に代入してy座標を求めれば、それも一致しますね。つまり、(1)と(2)を合体させて求められた数値がその(1)と(2)のどちらをも満たすということは、「その(1)と(2)とが共有する座標（すなわち、交点）が求められるということにほかならない」、わけです。

以上、ご回答まで。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/21 21:55

そりゃ、数学的にそうなるから、としか言いようは無いんですがね。

なぜ、数学的にそうなるかと言うと…

y=2x+1 と y=-3x-4 を合体させて 2x+1=-3x-4 にすると思うから、
かけ離れている感じがするのでしょう。
もっと素直に、直接合体させて y=2x+1=-3x-4 にすると思えば、
(y=2x+1 かつ y=-3x-4) と同じであることは、明白でしょう。

同様にして、 y=2x+1 と 2x+1=-3x-4 を合体させても
y=2x+1=-3x-4 になりますから、
(y=2x+1 かつ y=-3x-4) と (y=2x+1 かつ 2x+1=-3x-4) とは
同じものです。

連立方程式 y=2x+1, y=-3x-4 は、 2x+1=-3x-4 になった訳ではなく、
連立方程式 y=2x+1, 2x+1=-3x-4 になったのです。
だから、2x+1=-3x-4 を解いて x を求めた後、
y=2x+1 を使って y を求めるんですよ。
無くなってたものがイキナリ復活するのではなく、
ずっとそこに y=2x+1 もあったのでした。

(以上、ほぼ A No.1 のパクリ。)

No.5 回答者： sirayaki 回答日時： 2013/09/21 22:47

　等しい関係を、崩さずに変形していった結果です。

等式の性質というところを、確認してみてください。

No.6 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/09/22 09:23

あなたが理解できない最も根幹の部分は「数」という物に対する認識ですよ。

中学校になった時に数の拡張で、引き算、割り算は無くなったはずですね。
引き算--小さい数から大きい数は引けない=は正しいけど、負数を考えることで・・
割り算--割り算は逆数をかけること
　これによって、a-b≠b-a a÷b≠ b÷a だけど、a+(-b)=(-b)+a,a×(1/b)＝(1/b)×a
　など交換、分配、結合などで、たとえその数字が(未知数)であろうと、四則演算が自在に出来るようになったはずです。
　言い換えれば、
y=2x+1 もひとつの数として扱えるようになったはずです。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
この式は、yとxの関係を示していて、yと言う数と、2x+1という数が同じだとして示しているのです。よって、(2)式に代入できるのですよ。

＞数学的にそうなるから、としか言えないんですかね。
　違います。その全体として、数の拡張(分数,負数,無理数)がされているからその結果なのです。

　もう一度中学一年の数学の教科書を読み返してみましょう。

ちなみに他の計算方法
　2x + (-1)y = -1
　3x + 　y　 = -4

　2　 (-1) = -1
　3　　　1 = -4　　に(1式)を加える

　2　 (-1) = -1
　5　　 0 = -5　　(1/5)をかける

　2　 (-1) = -1　　(2式)を２倍して引く
　1　　 0 = -1

　0　 (-1) =　1　(-1)をかける
　1　　 0 = -1

　0　 1 = -1
　1　　0 = -1

No.7 回答者： uen_sap 回答日時： 2013/09/22 12:48

式とは何ぞや、との問いとすると、難しい。

哲学の話かもしれない。

何が理解できていない、のかが伝わりませんが、二つの式から作られた式ですから、すごく強い関係があるではないですか。二つの式の特徴すべてではありませんが、すこしずつ持って来ています。
都合のよい形になるよう細工をして合成することにより、交点の座標等が求められるわけです。

原則的な話をすると、n個の未知数がある時、一つ式があるということは、n-1個の数が解れば残りの一つが決まりますから、未知数はn-1個となります。
即、ｎ個の式があれば未知数はなくなります・・・解ける。

今の場合、未知数2個で式が2個ですから解けます。

ここで条件を一つ省略しましたが、式は独立であることが必要ですが、独立であることを言い出すと、ますます闇に入り込みますので、ここでは省略。