１から９までの数字を一つ抜いて、あと足す手品のカラクリ

■すごい手品のような話があります。

１２３４５６７８９の数字の中から、
ある一つの数を取り去ります。

たとえば５を抜くとします。

そして、のこった
１２３４６７８９を、全てを使って、足し算をします。
その際、足し算の仕方はどうでもいいそうです。
すなわち、
１＋２＋３＋・・・と一つずつやっていってもよし。
あるいは、
１２３＋４６＋７８９　などとやってもいいのだそうです。

そして、その答えを聞くと、たちどころに、
『抜いた数字は５だろう』と、当てられるのです。

この、すごい手品の仕組みは、いったいなんですか？？？
どなたか、わかりますか！？？？
証明とかまで、わかったら、最高にありがたいのですが・・・。

よろしくお願い致します！！！！

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/04/19 23:23

こんばんわ。

少し詰め切れていないところもあるのですが、こんな感じかなあ？ということを。＾＾；

1～9をすべて足すと、45と 9の倍数になりますよね。
また、数字の各ケタの数を加えて 9の倍数になると、もとの数も 9の倍数と言えますよね。

そこで思ったのが、数を取り除かずに「足した」数が 9の倍数になると言えれば・・・(★)
これが正しいとして、取り除いたときを考えてみます。

取り除いた数の足し算は (9の倍数)－(取り除いた数)となります。
文字を用いれば、9k- n（nは取り除いた数）となります。
もう少し変形すれば、
9k- n＝ 9(k- 1)+ (9- n)＝ (9の倍数)+ (余り)

つまり、9で割ったときの余りが mだとすれば
m＝ 9- nより n＝ 9- m

となります。


＞「１２３＋４６＋７８９」のときであれば、
１２３＋４６＋７８９＝９５８となり、９で割ると余りは４
よって、取り除かれた数は ９－４＝５


(★)のところがすっと言えれば、解決かなあと思うのですが・・・。

この回答へのお礼

ご回答いただいた、お二人の方へ。

わ。わ。わかりました。
意味というか、仕組みがわかりました！

なるほど、です！
ご存知だったのですか？
まだ、細かいところまでは私の頭の中でも詰めきっていないですが、大体の仕組みはわかりました！

カナリ嬉しいです。　

どうも、ありがとうございました！！

お礼日時：2010/04/19 23:40

No.2 回答者： umaimonhaumai 回答日時： 2010/04/19 23:24

　１～９まで全てを足すと４５になります。

４５の４と５を足すと９になります。１～９までの内、５を抜いて足すと４０，４０の４と０を足すと４、９から４を引くと、９－４＝５で５を抜いたことが分かります。
　言い換えると足した答えを９で割ったあまりを９から引くと抜いた数字が分かるのです。

　これを踏まえて、では
１２３４＋６７８９では、１２３４＋６７８９＝８０２３。８０２３のそれぞれの数字を足すと１３，１３を１と３に分けて足すと４。９－４＝５で５を抜いたことが分かります。

　な～んでか？
１２３４＋６７８９は
1*1000+2*100+3*10+4 + 6*1000+7*100+8*10+9です。
ところで1000=999+1,100=99+1,10=9+1ですので、
1*(999+1)+2*(99+1)+3*(9+1)+4 + 6(999+1)+7*(99+1)+8(9+1)+9
999,99,9は９で割り切れるので、余りになるのは
1+2+3+4+6+7+8=31、３＋１でも31÷９でも良いけど、
(１２３４＋６７８９)÷９の余りは４になることが分かります。
で、９－４＝５で５を抜いたことが分かります。

　ですから、足し算の答えの各桁の数字を足して９で割り、余りを９から引くと抜いた数が分かります。

この回答へのお礼

ご回答いただいた、お二人の方へ。

わ。わ。わかりました。
意味というか、仕組みがわかりました！

なるほど、です！
ご存知だったのですか？
まだ、細かいところまでは私の頭の中でも詰めきっていないですが、大体の仕組みはわかりました！

カナリ嬉しいです。　

どうも、ありがとうございました！！

お礼日時：2010/04/19 23:39