関数の増減を調べよという問題なのですが、正直解法の指針がわかりません。

関数の増減を調べよという問題なのですが、正直解法の指針がわかりません。
問題は以下の通りです。　


　　y=x(4)-2x(3)-2x(2)+3　の問題です。

第一次導関数を求めて

　　x=0,-1/2,2 までは解けたんですがいざ増減表を書こうとおもうと
最初が減少か増加かわからなくなってしまいます。
教科書を見てもチンプンカンプンで困っています。

出来れば解法のほかにも数IIIを解くにあたって知っておかなければいけない公式や
解法がありましたら是非教えてください。



よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/03 00:16

dy/dx が x の連続関数であることを見てとれば、

dy/dx = 0 となる x で区切って、それぞれの区間で
dy/dx の符号が一定になることは解るでしょう。

あとは、各区間で一個づつ x を代入してみれば済む
のですが、それも面倒なので…

方程式 f(x) = 0 の解 x が重根でなければ
その x の前後で f(x) の符号が異なることを利用して、
何か一個だけ x を代入して dy/dx の正負を計算し、
そこから芋ヅル式に dy/dx の符号を決めてゆけばよい。

x→∞ のとき、dy/dx の符号がどうなるか？を考えて
出発点にすれば、最初に一個の x を代入してみる
手間も省くことができます。

質問の例なら、
lim[x→+∞] (4x^3 - 6x^2 - 4x) が +∞ 発散なので、
x 軸を右から見ていって
2 < x で dy/dx > 0、
0 < x < 2 で dy/dx < 0、
-1/2 < x < 0 で dy/dx > 0、
x < -1/2 で dy/dx < 0
と順に符号を決定すれば、増減表が書けるでしょう。

テキトーに x = -1, -1/4, 1, 10 あたりを選らんで
代入してみても、dy/dx の符号は判りますが。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/04 14:23

補足要求：

ところで、質問は、
解法の指針でしたっけ？
その結果でしたっけ？

この回答への補足

解法の方針についてです。

補足日時：2010/05/04 22:16

No.4 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/05/04 04:53

y=x^4-2x^3-2x^2+3

y'=4x^3-6x^2-4x=2x(2x^2-3x-2)=2(2x+1)x(x-2)
x<-1/2 のとき
　2x+1<0,x<0,x-2<0, (-)(-)(-)=(-)だから　y'=2(2x+1)x(x-2)<0 で減少
-1/2<x<0 のとき
　2x+1>0,x<0,x-2<0, (+)(-)(-)=(+)だから　y'=2(2x+1)x(x-2)>0 で増加
0<x<2 のとき
　2x+1>0,x>0,x-2<0, (+)(+)(-)=(-)だから　y'=2(2x+1)x(x-2)<0 で減少
x>2 のとき
　2x+1>0,x>0,x-2>0, (+)(+)(+)=(+)だから　y'=2(2x+1)x(x-2)>0 で増加

No.2 回答者： nattocurry 回答日時： 2010/05/02 14:39

第一次導関数y'が0になるということは、関数yの傾きが0になる(x軸と平行になる)ということであり、そこが極値を取るということは解っているようですね。

そこが上に凸なのか下に凸なのかを調べるためには、第一次導関数y'を更に微分した第二次導関数y''を求めて、極値をとるxを代入したy''の値で判断します。
y''が＋であれば、y'が増加中ということであり、y'が0でy'が増加中ということは、yは下に凸ということになります。
yが下に凸ということは、そこより左のyは－、そこより右のyは＋、ということになります。

No.1 回答者： banakona 回答日時： 2010/05/02 12:43

まず、「ｘの４乗」はｘ^4と書きます。

Excelでもそうなので、覚えておくと後々やくだつでしょう（ホントか？）

で、本題。
4次関数を微分して、ｙ'＝０となる解がx=0,-1/2,2 と異なる３つの解が出てきたら、元の4次関数のグラフはＷ型になります（本問のように４次の係数がプラスの場合。マイナスならＭ型）。覚え方は、ｘをウンと小さくしたり大きくしたりするとｙがどんどん大きくなる（ｘ^4の項が最も効く！）ので不要でしょう。

だから増減表は、左から減少、増加、減少、増加の順となります（符号は左から－＋－＋）。

イメージではなく計算で解きたければ、ｘ＝０など計算しやすい値を代入すればいいんだけど、本問の場合はｘ＝０でｙ'＝０になってしまうので、ｘ＝１あたりを代入して符号を調べ、そこから両側に互い違いに符号を変えていけばいいでしょう。

ただし、これは本問のように導関数ｙ’を０にする値が重解にならなかった場合の話で、重解の場合は別途注意が必要です。