行列の微分方程式を解いていて、計算を進めたのですが、

行列の微分方程式を解いていて、計算を進めたのですが、

exp(Bt)

の計算ができずに困っています。

Ｂは三行三列の行列で

2　0　　　0
0　0　　-√（2）
0　√（2）　0

というところまでは求められたのですが・・・
よろしくお願いします。

No.4 回答者： carvelo 回答日時： 2010/05/13 01:35

ちょっと違った解法を…

微分方程式
dx/dt = Bx (x:3次元ベクトル）
の解が
x(t) = exp(Bt) x(0) ………… (i)
と書けることを使います．

微分方程式を成分ごとに書くと（x=(x1 x2 x3)^tとします)
dx1/dt = 2 x1
dx2/dt = -√(2) x3
dx3/dt = √(2) x2
となり，第２，３式からさらに
d^2x2/dt^2 = - 2 x2
d^2x3/dt^2 = - 2 x3
が得られます．これらから，a，b，cを任意定数として
x1=a exp(2t)
x2=b cos√(2)t + c sin√(2)t
x3=b sin√(2)t - c cos√(2)t
と求まり，また
x1(0) = a
x2(0) = b
x3(0) = -c
です

これらをまとめて行列表示（x=Ax(0)の形に)して(i)式と見比べると，exp(Bt)が得られます．


他にも，
exp(Bt) = L^(-1)[(sI-B)^(-1)]
を使う手もあります（L^(-1)は逆ラプラス変換）．今回の問題では(sI-B)^(-1)を求めるのが厄介ですが，Bがもし2次の行列なら一番早いかもしれません．

この回答へのお礼

なるほど！使えそうな手ですね。
ラプラス変換の方も自分でやってみます。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/13 10:02

No.3 回答者： hopper0024 回答日時： 2010/05/13 01:17

#1の補足で示された解答でｏｋです (^^)V

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/05/12 16:31

セオリーは「対角化」だけど, この場合に関して言えばそこまでしなくても #1 にいわれるように定義にしたがえば計算ができちゃったりする.

(Bt)^n を計算していくとあるときにたぶん気づく.

No.1 ベストアンサー 回答者： hopper0024 回答日時： 2010/05/12 16:07

exp(x)=Σx^n/n!　と同様にして、exp(Bt)=Σ(Bt)^n/n!　を計算しましょう。

この回答への補足

あ、そういう公式ありましたね・・・

e^(2t) 0 0

0 cos(√２*t) -sin(√２*t)

0 sin(√２*t) cos(√２*t)


でいかがですか・・・？

補足日時：2010/05/12 23:08