f(z)=z^3で定義される複素平面C上の関数fのΔ={z=re^iθ∈C|r>0,2π/3≦θ<4π/3}への制限f|Δをgとおく。Cから原点を除いた集合をC*と書くことにする。写像(関数)g:Δ→C*は1:1かつonto写像であることを証明せよ。
また、このことよりgの逆関数g^-1が存在しg^-1(8/27),g^-1(i8/27)はどのような数をとるか。
この問題がどうやればいいのかわからないのですが、どなたか教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
こんな感じなのかなと思いますが・・・
△上の点z=re^(iθ) (r>0,2π/3<=θ<4π/3)に対し、
f(z)=(r^3)e^(i3θ)
絶対値・偏角のとるうる値はそれぞれ0<r^3、2π<=3θ<4π
となり、原点以外の複素平面即ちC*をカバーすること
となるため全射(onto)。
f(z1)=f(z2)即ち、r1^3=r2^3かつ3θ1=3θ2のとき、
必ずr1=r2かつθ1=θ2即ちz1=z2が成立するので単射(1:1)。
g^-1(8/27)
=g^-1((2/3)^3e^(i2π))=(2/3)e(i2π/3)=(-1+i√3)/3
g^(-1)(i8/27)
=g^-1((2/3)^3e^(i5π/2))=(2/3)e(i5π/6)=(-√3+i)/3
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