線形写像と線形変換

線形写像と線形変換

以前、同様の題目で質問させて頂きました。
前回の質問内容：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5940429.html
線形写像と線形変換についての違いは理解出来たのですが、
分からない点があるので新規で質問させて頂きます。

線形写像の定義を表す場合、
R^n,R^mをR上のベクトル空間とする。
ベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して
f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^mへの線形写像という。
k∈Rである。
上の記述では何か間違っている点はありますでしょうか？

n次元ベクトル空間はR^nとよく表記されているのを目にします。
Rは実数を表すイニシャルだと認識しています。しかし、kは複素数や虚数でも成り立つと
思うのでk∈Rと言う表現は正しくないのでは？と考えた次第です。
定数倍を表す場合は別の基礎体を考えなければならないと言う事でしょうか？

基礎体はRではなくKとして表記した方が正しいでしょうか？

また、次元を表すnやmに関してはn,mは実数を前提として基礎体をRとしているので
わざわざn,m∈Rと表記する必要は無いと考えているのですが、n,m∈Rも表記した方が
良いのでしょうか？

初歩的な質問で大変恐縮ですがご回答よろしくお願い致します。


初歩的な質問ですいません・・・よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/06/08 08:54

>定数倍を表す場合は別の基礎体を考えなければならないと言う事でしょうか？

>基礎体はRではなくKとして表記した方が正しいでしょうか？

なんでこんな変なことを思いつくのかわからないのですが・・・・
教科書では「教育的配慮」で最初は実数だけの線型代数を記述することはよくあります．
実数だけの世界だからk∈Rと書いているだけ．
実数しか考えないといってるのになぜ複素数を？
もちろん，たいていの場合は複素数でも一般の体でも成り立つんだけども
基礎体をRとしてるならスカラーkもRの元！
それが「基礎体がR」ということの意味．

それと，確かにスカラーはkで書くことが多いし，
基礎体もKで表すことが多いけども，
kって書いてるからKの元だってことは
まったくないわけで，きちんと文脈を考えないといけない．

>また、次元を表すnやmに関してはn,mは実数を前提として基礎体をRとしているので
>わざわざn,m∈Rと表記する必要は無いと考えているのですが、n,m∈Rも表記した方が
>良いのでしょうか？
全然違う．
そもそも「次元の定義」と「基礎体」はまるで関係ない．
たとえ基礎体がF2みたいなものでも，
次元は「自然数」であって基礎体は関係ない．
次元の定義を理解しましょう．
次元というのは「基底の要素の個数」であって
基礎体がなんだろうが普通の自然数．
そしてそれはあまりに当たり前だから普通は「次元は自然数」とか
いちいち書かないだけ．

かなり厳密に書こうと思えばいくらでも書けるけど，
なんでもかんでも書いてたら，わけがわからなくなるでしょう？
だから「誤解を招かない範囲」で適宜省略するのです．
数学は言葉です．言葉は適宜省略されます．
省略が極限まで少ない文章（法律や契約書など）は難解でしょう？

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
しょうもないところで躓いてしまって心苦しい限りです。

k倍と言うのは、Kの元だからと勝手に考えていました。ご指摘の通りです。
次元の定義も基礎体によらない事を理解出来ました。

「基礎体Kは、実数をすべて集めた集合R,複素数をすべてあつめた集合Cを表す」
と表記されていました。


線形空間「R」は、実数のみを対象とすると言う事ですね。
複素数などを表す場合はRではなくてCを使って表すと言う認識です。
線形空間には複素数も含まれるので、複素数を含む場合は複素線形空間Cと表すと
と言う事でしょうか？

ご回答頂いた内容を踏まえて例えば、線形空間R^2の定義ですが
ベクトルu,vにu,v∈V⇒u+v∈V,ku∈V,k∈Rが定義され、
加法の結合,加法の交換,加法のゼロ元の存在,逆元の存在,スカラー倍の結合,
スカラー倍の分配,スカラー倍に関する単位元,スカラー倍に関するゼロ元の
8つの性質を満たすときVはR上の線形空間である。

間違っている箇所は有りますでしょうか？

面倒かと思いますがどうぞよろしくお願い致しますm(_ _)m

補足日時：2010/06/09 02:16

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/08 10:36

「写像 f: R^n → R^m が f(kx)=kf(x)を満たす」なら, k は複素数だとまずいことに気づいてほしい. つまり「kは複素数や虚数でも成り立つと思う」のが間違い.

あと, R^n の定義をきちんと確認した方がいいと思う. この「n」が「次元を表す」と単純に受け止められると困る.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
具体的になぜ、kが複素数だとまずいのでしょうか？
「n」は次元を表すと考えているのですが、他にはどのように捉えることが
出来るのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2010/06/09 02:17

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/09 18:23

#2 の最初の点についてはシンプルにわかってほしかった. つまり, 「実数を定義域とする関数に複素数を与えて計算できるんですか?」ってこと.

後半については「R^n の定義」を確認しましたか? 場合によっては, R^n を「n個の実数を並べたものの集合」としていることがあります. この場合, 暗黙に適当な演算を導入することでベクトル空間とみなすんだけど, この時点ではまだ「n次元」とはいっていない. もちろん自然基底なりなんなりを使うことで「n本のベクトルからなる基底」が存在することは証明でき, さらには「(n+1)本のベクトルからなる基底が存在しないこと」を経て「やっぱり n次元のベクトル空間なんだね」となる. だから「結局」 n は次元を表すといえなくもないんだけど, それは本来 a priori ではない.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

ベクトル空間について、Rで定義されている時点で実数のみを定義域とすると言う事で理解しました。
私は、ベクトル空間について定数倍が複素数をとる場合も有るのでは？と考えたのですが、
そのような場合はRと表記しないと言う事ですね。

以上、よろしくお願い致します。

補足日時：2010/06/11 03:45