線形変換の定義

線形変換の定義

前回の質問で線形変換とアフィン変換について質問させて頂きました。
前回の質問内容：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5973471.html

線形変換とアフィン変換については理解する事が出来ました。
ご回答下さった方本当にありがとうございます。

線形変換の定義を幾つか示して頂いたのですが、
線型変換の定義： [1]
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。

線型変換の定義： [1’]
[1']?体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、?x,y∈V, a∈K について常に?f(x+y) = f(x) + f(y),?
f(ax) = a f(x) が成り立つもの。

線形変換の定義：[1'']
?体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、?x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき?f(ax + by) = a f(x) + b f(y),?
f(ax) = a f(x) が成り立つもの。


定義[1] ⇔ [1'] ⇔ [1''] が同値であることはどのように示せば良いのでしょうか？
また、定義[1'']におけるa+b=1とは具体的に何を示しているのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

No.6 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/06/28 03:25

[一次関数]が以下のような定義であれば、「a+b=1～は一次関数を表す」でよいと思います。

[1次関数(1)]
Vは体 K 上のベクトル空間
f:V→V
∃g:V→V,gは線形変換
∃c∈V
x∈V→f(x)=g(x)+c
←→
[1次関数(2)]
Vは体 K 上のベクトル空間
f:V→V
x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき
f(ax+by)=af(x)+bf(y)

[1次関数(1)]→[1次関数(2)]
x,y∈V, a,b∈K,a+b=1
→
af(x)+bf(y)-f(ax+by)=a(g(x)+c)+b(g(y)+c)-g(ax+by)+c
=ag(x)+ac+bg(y)+bc-ag(x)-bg(y)-c
=(a+b-1)c=0
→
f(ax+by)=af(x)+bf(y)

[1次関数(2)]→[1次関数(1)]
g:V→V,x∈V→g(x)=f(x)-f(0)
とする
x,y∈V, a∈K
とする
→
g(ax)=f(ax)-f(0)=f(ax+(1-a)*0)-f(0)=af(x)+(1-a)f(0)-f(0)=a(f(x)-f(0))=ag(x)
g(x+y)=2g((1/2)x+(1/2)y)=2(f((1/2)x+(1/2)y)-f(0))
=2((1/2)f(x)+(1/2)f(y)-f(0))=f(x)+f(y)-2f(0)
=g(x)+g(y)
→gは線形変換
f(x)=g(x)+f(0)

・アフィン変換は通常全単射写像として定義します。

Vは体 K 上のベクトル空間
f:V→V
fがアフィン変換
←def→
∃g:V→V,gは正則線形変換,det(g)=|g|≠0
∃c∈V
x∈V→f(x)=g(x)+c
となるもの。

Vは体 K 上のベクトル空間
f:V→V
fがアフィン変換
←→
fが全単射で、
x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき
f(ax+by) = af(x) + bf(y)
が成り立つ。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
定義の取り方で、a+b=1を一次関数とみなせるのですね。
私には難しかったのでご回答頂いた内容を読み返します。
ちなみに、f(ax+by)という関数は具体的にはどのような関数になるのでしょうか？
線形空間であれば、y=axのイメージなのですが・・・うまくイメージ出来ません・・・
f(ax+by)において、a+b=1を一次関数と考えられませんかと質問しておきながらですが、
a+b=1の条件は相当に厳しく感じます。

以上、よろしくお願い致します。

補足日時：2010/07/02 01:44

No.5 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/06/26 03:23

Vを体 K 上のベクトル空間 V

fをV上の線形変換とする
Vの次元をnとして
Vのn個の基底ベクトルを{e_i}_{i=1～n}⊂Vとすると
∀x∈V→∃{x_i}_{i=1～n}⊂K ( x=Σ_{i=1～n}x_ie_i )
f(x)=f(Σ_{i=1～n}x_ie_i)=Σ_{i=1～n}x_if(e_i)
∃A={{a_{j,i}}_{j=1～n}}_{i=1～n} ( f(e_i)=Σ_{j=1～n}a_{j,i}e_j )
f(x)=Σ_{j=1～n}(Σ_{i=1～n}a_{j,i}x_i)e_j=Ax
線形変換は、一次関数で表せますが、
一次関数は、線形変換ではありません。
例)
c≠0,b∈R
f:R→R,x∈R→f(x)=bx+c
とすると、
fは一次関数だが
x,y∈R
→f(x)+f(y)-f(x+y)=bx+c+by+c-(b(x+y)+c)=c≠0
→f(x)+f(y)≠f(x+y)
a≠1
→af(x)-f(ax)=a(bx+c)-(bax+c)=(a-1)c≠0
→f(ax)≠af(x)
→fは線形変換でない

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
一次関数は、線形変換でない点は理解出来ます。

線形変換の定義：
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のときf(ax + by) = a f(x) + b f(y),
f(ax) = a f(x) が成り立つもの。

アフィン変換の定義：
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のときf(ax + by) = a f(x) + b f(y)
が成り立つもの。

以上の事から、a+b=1は一次関数を表して、線形変換の場合はf(ax) = a f(x) から、スカラー倍の相似中心である
原点の条件が付加されるため比例であるイメージと捉えています。

この点から、a+b=1は一次関数を表すのではないかと考えた次第です。

お手数ですが、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2010/06/26 20:35

No.4 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/06/24 03:50

[1]→[1']

x,y∈V,1∈K→f(x+y)=f(1*x+1*y)=1*f(x)+1*f(y)=f(x)+f(y)
x,0∈V,a,0∈K→f(ax)=f(ax+0*0)=af(x)+0*f(0)=af(x)
[1']→[1]
x,y∈V,a,b∈K→ax,by∈V→f(ax+by)=f(ax)+f(by)=af(x)+bf(y)
[1]→[1"]
x,y∈V, a,b∈K→f(ax+by)=af(x)+bf(y)
x,0∈V,a,0∈K→f(ax)=f(ax+0*0)=af(x)+0*f(0)=af(x)
[1"]→[1]
x,y∈V, a,b∈K→f(ax+by)=f((a+b)((a/(a+b))x+(b/(a+b))y))
=(a+b)f((a/(a+b))x+(b/(a+b))y)
=(a+b)((a/(a+b))f(x)+(b/(a+b))f(y))
=af(x)+bf(y)

ベクトルxの終点をxベクトルyの終点をyベクトルax+byの終点をax+byとすると
a+b=1のときax+byは線分xyをb:aに内分するxy上の内分点となる

この回答への補足

ご回答ありがとう御座います。
[1]→[1'],[1']→[1],[1]→[1"],[1"]→[1]について理解出来ました。

a+b=1についてのご回答も理解出来ました。
直感的に一次関数を表しているのかと思っていたのですがこの認識は間違いでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2010/06/25 01:24

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/23 11:55

具体的なベクトルを 1つ与えたってダメ. ちゃんと一般的な形で書かなきゃ.

あと, 「a+b=1とは具体的に何を示しているのでしょうか」については私は知りません. しいていえば「分点が (同じ比率の) 分点に移る」という解釈はできるけど.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/22 23:40

#1 をちょっと訂正します.

「3通りないし 4通り」と書きましたが, 実際には 5通り必要な可能性もあります.
頭をどのくらい使ったかに依存しますが....

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/22 10:28

例えば「[1] を満たしていれば [1'] を満たす」というようなことを, 全ての組み合わせ (6通り) についてチェックすればい

ろん本当に 6通り全てを調べる必要はなく, 3通りないし 4通り確認すれば残りは自動的に成り立つことが分かります.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
具体的に、（0,1），（1,0）ベクトルを与えて確かめれば良いという事でしょうか？

また、a+b=1についてもご回答頂けるとありがたいです。

以上、よろしくお願い致します。

補足日時：2010/06/23 02:10