ある問題を１時間悩んだんですが分からなかったので質問します

ある問題を１時間悩んだんですが分からなかったので質問します
問題
あるレストランで手持ちの材料からハンバーグとオムレツを作って利益を最大にしたいと考えた
・ひき肉 3800ｇ
・タマネギ 2100ｇ
・ケチャップ 1200ｇ

ハンバーグ１個 ひき肉60ｇ タマネギ20ｇ ケチャップ20ｇ
オムレツ1個 ひき肉40ｇ タマネギ30ｇ ケチャップ10ｇ

販売価格
ハンバーグ400円/個
オムレツ 300円/個
ハンバーグとオムレツを幾つずつ作る？

この問題の解き方教えてください

No.2 回答者： Kules 回答日時： 2010/07/01 10:35

ハンバーグをX個、オムレツをY個作るとすると、

この問題は、
・X,Yは自然数→自然数に限定するとややこしいのでとりあえず0以上としておいて、最後に自然数という条件を使うのがよいでしょう
・60X+40Y<=3800(ひき肉の量より)
・20X+30Y<=2100(玉ねぎの量より)
・20X+10Y<=1200(ケチャップの量より)
を満たしながら、
400X+300Yが最大となるようにX,Yを決めて下さい、という問題になります。

かなりうろ覚えですが、この話は高校数学IIの「軌跡と領域」の分野で
出てきた話だと思います。

具体的に上の４つを満たす領域をXY平面に図示すると、
３本の直線およびX軸、Y軸によって囲まれた多角形(多分５角形)
になります。この多角形の内部を塗りつぶしておきます。またこの領域をDと呼びます。
で、「～を満たしながら」をXY平面上で表現するなら、
400X+300Y=K…(*)と置いた時この直線と
先ほど塗りつぶした領域とが重なる部分があればよいということになります。
(厳密な説明は省きます。イメージとして「重なっている部分のXYの値は、領域内にある(条件を全て満たしている)＆直線上にいるからこれでOK！」と思っておけばよいかと)

ということで、最終的にこの問題は、
「先ほど塗りつぶした領域Dと直線(*)が共有点を持つものの中で、Kが最大になるものを求めよ」
という問題だということになります。
(*)をちょちょいと変形してY=の式にすると、K/300はY切片なので、
直線(*)のY切片が最大になればいいのだな、ということになります。
この直線はY軸に平行な方向にしか動かせない(Kしか自由に動くものはない)
ので、(*)で表わされる直線をY軸の正の方向に動かす(上に動かすイメージ)時、
いずれDと重なる部分がなくなるので、そのぎりぎりのところが答えとなります。
ただし、「X,Yは自然数(ハンバーグ1.5個作るとかはダメ)」という条件があるので、
Dと重なっていてもその重なっている部分においてX,Yが自然数でなくてはいけません。

文章でわかりにくいかも知れません。
長文失礼しました。参考になれば幸いです。

No.1 回答者： umaimonhaumai 回答日時： 2010/07/01 03:19

　お断り：もっとスマートな解法があるかも知れません。

　先ず単価の高いハンバーグを最大数作ってみました。
　この場合ケチャップが1200gですので、1200/20=６０個出来ます。ケチャップを使い切りましたので、オムレツは出来ません。売り上げは24,000円です。
　ハンバーグを１個減らして残りでオムレツを作ってみます。
　ひき肉260g、玉ねぎ920g、ケチャップ20gからオムレツが２個（ケチャップ残りの20÷10)出来ました。売り上げは400*59+300*2=24,200円です。

　順にハンバーグを減らしてゆくと、ハンバーグ50個オムレツ20この時点で、400*50+300+20=26,000円。ここまではハンバーグを減らして余ったケチャップ÷10でオムレツの作る数が決まりましたが、ここから以降はその計算だとひき肉がマイナスになります。これ以降は余ったひき肉÷40＝答えの整数部（21.5になった場合は21個とする）がオムレツの数となります。

　それで計算していくと、ハンバーグ30個の時、オムレツ50個で、
400*30+300*50=27,000円となり、これが最大の売上額となります。

　多分これであっていると思いますが、自分も答えを導く解き方を知りたいです。学校で正解を聞いたら、お礼か補足に解法を書き込んで下さい。