四角形ABCDがあり、AB：BC：CD:DA=1:2:3:4とします。

四角形ABCDがあり、AB：BC：CD:DA=1:2:3:4とします。対角線ACとBDの交点をPとするとき、AP：CP=2:3になりました。このとき、四角形ABCDと三角形ABPの面積比は何対何でしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/07/13 21:06

AB=1、BC=2、CD=3、DA=4

BD=a、AC=b
三角形ABDの面積をS1
三角形BCDの面積をS2
三角形ABCの面積をS3
三角形ACDの面積をS4
とすると、
ヘロンの公式より、
S1=√{(5+a)(5-a)(a+3)(a-3)}/4
S2=√{(5+a)(5-a)(a+1)(a-1)}/4
S3=√{(3+b)(3-b)(b+1)(b-1)}/4
S4=√{(7+b)(7-b)(b+1)(b-1)}/4

S1:S2=2:3
であることから、
a=√(77/5)
が求まります。よって、
S1=4√6/5
S2=6√6/5

従って、
S3+S4=S1+S2=2√6
より、
√{(3+b)(3-b)(b+1)(b-1)}/4+√{(7+b)(7-b)(b+1)(b-1)}/4=2√6
これを解くと、
b=√(55/7)
となります。よって、
S3=2√6/7
S4=12√6/7

以上から、
S3:S4=1:6
であり、四角形ABCDと三角形ABPの面積比は、
35:2
となります。