テイラー展開

テイラー展開

教科書に「n＝3として、f(x)＝sinxのx＝π/4におけるテイラー展開を求めよ。」という問題があります。

f(x)＝sinxは無限回微分可能。
n＝3 a＝π/4 としてテイラー展開を行う。

n＝3なので、テイラーの定理に(n＋1)乗まで、a＝π/4を当てはめればいい。

そして、f(x)、f'(x)、f''(x)…と、(n＋1)回微分まで求めて、求めた値f(π/4)、f'(π/4)、f''(π/4)…をテイラーの定理に代入する。


講義のルーズリーフをなくしてしまい、記憶で解いていたのですが果たして考え方が合っているのか不安です。これでいいんですよね？

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/26 02:31

やり方はあっていると思う。

展開結果は次の通り。
sin(x)=(1/√2)+(1/√2)(x-π/4)-(1/(2√2))(x-π/4)^2-(1/(6√2))(x-π/4)^3 + …

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/テイラー展開

No.1 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/26 01:00

f(x)-f(a)

=f'(a)(x-a)/1!+f"(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n-1)(a)(x-a)^{n-1}/(n-1)!+R(n)

R(n)=f^(n)(c)(x-a)^n/n!,c=a+θ(x-a),0<θ<1.