∫∫D 1/{(x+y)^4+1}dxdy D={x≧0,y≧0,x+

∫∫D 1/{(x+y)^4+1}dxdy D={x≧0,y≧0,x+y≦1}

前回質問したものですが、若干誤植がありました。改めて、
この2重積分が解けなくて困っています。

アドバイスいただいたようにヤコビアンで変数変換し解くことを考えましたが、
累次積分ができないのか、置換積分が出来なくて解けないのか、途中で解けなくなりました。

途中式、
∫∫Ｅ 1/{s^4+1}｜j｜dtds＝∫dt∫E 1/{s^4+1} ds s^4+1=k として、k'=4s^3

＝∫dt∫E (1/4s^3)×{4s^3/(s^4+1)} ds　無理ですね＾＾；


いくつか考えては見ましたが、解けませんでした。
どなたか、解き方がわかる方、解答及びそのポイントを教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/27 08:25

x^4 + 1 = (x^2+1)^2 -(2x)^2 = (x^2-root{2}x+1)(x^2+root{2}x+1).

これを用いて部分分数展開。

類題
http://okwave.jp/qa/q6066241.html

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/27 10:42

I=∫∫[D] 1/{(x+y)^4+1}dxdy

=∫[0,1]dy∫[0,1-y] 1/{(x+y)^4+1}dx

∫1/{(x+y)^4+1}dxについては
参考URLで「Show steps」を見れば詳しい計算過程が見れます。

I=∫[0,1] [(-2tan^-1{1-(x+y)√2}+2tan^-1{1+(x+y)√2}-log{1-(x+y)√2+(x+y)^2}+log{1+(x+y)√2+(x+y)^2})/(4√2)] [x=0,1-y] dy
={1/(4√2)}∫[0,1] [-2tan^-1(1-√2)+2tan^-1(1+√2)-log(2-√2)+log(2+√2)
-{-2tan^-1{1-y√2}+2tan^-1{1+y√2}-log{1-y√2+y^2}+log{1+y√2+y^2}}]dy
={1/(4√2)}∫[0,1] [π+2log(√2+1)-2tan^-1(y√2/(1-y^2))-log{(1+y√2+y^2)/(1-y√2+y^2)}]dy
= …

今はちょっと暇がないのでまた後で…
挑戦して見て下さい。

参考URL：http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate(1 …^4%2B1)%2Cx)

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/29 13:07

#2です。

A#2の続き
>=　…

積分を部分的に取り出して積分すると
I1=∫[0,1] 2tan^-1(y√2/(1-y^2))dy=-{2(√2)log(2)+(√2-4)π}/4
I2=∫[0,1] log((1+y√2+y^2)/(1-y√2+y^2))dy=log(3+2√2)+(√2)log(2)/2-π(√2)/4
従って
I={1/(4√2)}[π+2log(√2+1)+{2(√2)log(2)+(√2-4)π}/4 -{log(3+2√2)+(√2)log(2)/2-π(√2)/4}]
=π/8

[別解]
x=r*cos(t),y=r*sin(t)とおくと、x+y=r(cos(t)+sin(t)}<=1, r>=0, 0<=t<=π/2
0<=r<=1/{cos(t)+sin(t)}
I=∫[0,π/2]dt∫[0,1/{cos(t)+sin(t)}] rdr/[1+(r^4){cos(t)+sin(t)}^4]
=∫[0,π/2]dt[tan^-1((r^2)(cos(t)+sin(t))^2)/(2(cos(t)+sin(t))^2)] [r:0->1/{cos(t)+sin(t)}]
=∫[0,π/2]π/(8(cos(t)+sin(t))^2) dt
=(π/8)∫[0,π/2]1/(cos(t)+sin(t))^2 dt
=(π/8)∫[0,π/2]1/{1+sin(2t)} dt
=(π/8)[{1+cos(2t)}/{1+cos(2t)+sin(2t)}] [t:0,π/2]
=(π/8)[lim(t->π/2) {1+cos(2t)}/{1+cos(2t)+sin(2t)}-lim(t->0) {1+cos(2t)}/{1+cos(2t)+sin(2t)}]
=(π/8){0-(-1)}
=π/8