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極座標における角度の表し方

極座標で点の位置を表す際、よく『長さ∠角度』で表し
角度に関してはatan(アークタンジェント)を用いることが多いと思います。

その際、例えば第3象限にある『-1-j1』(=135°)の角度は
atan(-1/-1) = atan(1/1) = 45°
となってしまい、第3象限を表現したいのに第1象限の角度になってしまいます。

atanθの形式を用い、確実に第3象限を表す際はどのようにすればよいのでしょうか?
ご存じの方がいらっしゃいましたら、是非ご教授お願い致します。

A 回答 (3件)

>第3象限にある『-1-j1』(=135°)の角度は


計算機などでは
atan(y/x)
atan2(x,y)
など2通りの関数を用意している場合があります。

x=-1,y=-1のとき
θ=atan(-1/-1)→π+atan(1)=π+(π/4)=5π/4 (ラジアン)=135°
(x,yの符号またはsinθ,cosθの符号でπを加えるか加えないかを判断)

θ=atan(x)は
-π/2≦atan(x)≦π/2 の範囲しか角度θが表せないので第2象限、第3象限の角は
πを加減して調整する必要がある
て計算ではsinθ=-1,cos(θ)-1をただし書きしておくことが良くあります。

2変数の atan(x,y)でx,yを与えれば第2象限、第3象限でも問題が発生しない。
atan(-1,-1)=π+atan(1)=π+(π/4)=5π/4[rad]=135°
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この回答へのお礼

>atan(-1/-1) = atan(1/1) = 45°
は-45°の記載ミスでした。
確認したところ、アークタンジェントは-π/2≦atan(x)≦π/2 の範囲しか表せないので
>atan(-1,-1)=π+atan(1)
のように参考書の答えでも記載されていました。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/08/11 11:07

atan() は -π/2 ~ π/2 の角度を返すでしょうから、


x < 0 に対しては r < 0
とされたらどうでしょう。
第3象限に加えて第2象限の点も扱えます。
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この回答へのお礼

>atan(-1/-1) = atan(1/1) = 45°
は-45°の記載ミスでした。
アークタンジェントは-π/2 ~ π/2はとても参考になりました。

お礼日時:2010/08/11 11:03

サイン、コサインが周期2πの関数であるのに対して、


タンジェントは周期πの関数なのでこういう事がおこります。

>その際、例えば第3象限にある『-1,-1』(=135°)の角度は

(-1,-1)は135°ではなく、225°、もしくは、-135°です。
つまり、

atan(+1) = 45°または -135°
atan(-1) = 135°または -45°

で、どちらを取るかはサインとコサインの符号で決めるしかありません。

(cosθ, sinθ)であらわすとして、tanθ=-1の場合、

(+1,-1) ならθ=135°または-45°ですが、
サインが-、コサインが+となるのは第4象限なので、θ=-45°が答です。

(-1,+1) ならタンジェントは同じtanθ=-1ですが、
サインが+、コサインが-なので、θ=135°が答です。
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この回答へのお礼

>atan(-1/-1) = atan(1/1) = 45°
は-45°の記載ミスでした。
atanの中身が分数ではなく整数の場合は判断が難しそうですね。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2010/08/11 11:00

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