res(f(z),a) =res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2) ={1/(n+

res(f(z),a)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)f(z)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...①

の式に置いて、①の式の中で最も値の高い指数は(n+2)であるため z=π/2の時、(n+2)位の極を持つ、そしてz≠π/2の時は極を持たないと言う認識で正しいでしょうな？

質問者からの補足コメント

• >> ①の式の中で最も値の高い指数は(n+2)であるため z=π/2の時、(n+2)位の極を持つ
  
  に関して、仮に違う場合は、なぜ①はz=π/2の時、(n+2)位の極を持つのでしょうか？

    補足日時：2022/07/27 10:10

• 確認として、お聞きしたいことがあります。
  
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
  は間違った式で。
  
  正しい式は
  res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)f(z)
  あるいは、
  res(f(z),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}で良いで大丈夫でしょうか？

    補足日時：2022/07/28 02:32

• 「f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  の時
  lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1に収束するから
  
  f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  が
  z=π/2で(n+2)位の極を持つのです。」
  に関して
  
  極とは分母が0になるような時を表しますが、
  
  lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)
  =lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...①
  =lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
  =-1
  として、①よりz=π/2で分母が0になるのは(n+1)位の時だと思うのですが、なぜ(n+2)位なのでしょうか？
  ①の中で最も値が高い指数が(n+2)であるため(n+2)位となるとかでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/07/28 03:58

• ありがとうございます。
  
  ちなみに、なぜf(z)=tan(z)に関するローラン展開を求めるのにres(f(z),π/2)はres(tan(z),π/2)ではなく、res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)なのでしょうか？

    補足日時：2022/07/28 10:36

• すいません。
  
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
  ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
  
  について、疑問があるのですが、
  
  なぜ①のn-1やnを+2して、②のようにしてから、f(z)にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入したのでしょうか？
  
  要は、なぜres(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ではダメなのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/07/29 03:19

• ありがとうございます。
  
  ちなみに、
  f(z)=tan(z)
  の時
  res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)としても
  ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)と正しい式が導けるのはなぜでしょうか？
  
  また、
  f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n-1)
  a=π/2
  の時
  res(f(z),a)
  =1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
  としても、正しい式{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)が導けるのはなぜでしょうか？
  
  最後に画像の式の時は、k=1として、
  {1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)と導けるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/02 04:12

No.16 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/08 05:37

f(z)がz=aでn位の極を持つ時

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)…①
となるのです

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
はz=π/2でn+2位の極を持つのだから①は間違いで

res(f(z),π/2)=1/(n+1)!lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)f(z)…③
でなければなりません

n≠n+2だから

n位の極とn+2の極は等しくなりません

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/07 09:30

lim_{z→a}f(z)の式は発散し

lim_{z→a}(z-a)f(z)の式は収束する
とき
f(z)はz=aで1位の極を持つというのです
「k=1の時にf(z)が極を持つ」のではありません

lim_{z→a}(z-a)f(z)の式は発散し
lim_{z→a}{(z-a)^2}f(z)の式は収束する
とき
f(z)はz=aで2位の極を持つというのです
「k=2の時にf(z)が極を持つ」のではありません

この回答へのお礼

読み返して、
2022.7.29 21:41について質問があるのですが、

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
について、

①のnの項をを+2してからf(z)にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入すれば②が導けるため=に出来ると思うのですが。
なぜ=とで出来ないのですか？

それとも、f(z)がz=aでn位の極を持ち
res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
が成り立つならば①=②と出来るのでしょうか？

お礼日時：2022/08/08 04:27

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/02 19:20

f(z)がa=π/2でn位の極をもつ時n≧1

res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)

f(z)がz=cでk位の極をもつ時n≧0
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がz=π/2で(n+2)位の極をもつからn≧-1
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim[z->π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

この回答へのお礼

ちなみに、
「lim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)が発散し
lim_{z→a}(z-a)^(k)f(z)が収束する
とき
f(z)はz=aでk位の極を持つというのです」
に関しては、例えばk=1の時にf(z)が極を持つとしてlim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)の式は発散し
lim_{z→a}(z-a)^(k)f(z)の式は収束すると言いたいのでしょうか？

また、仮にk=2の時にf(z)が極を持つ場合はlim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)の式と
lim_{z→a}(z-a)^(k)f(z)の式は収束すると言うことでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/06 21:49

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/02 17:37

f(z)=tan(z)

の時
n≧-1の時

res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim[z->π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

だから

res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は
間違いです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は
間違いですとの事ですが、
どんな時に
res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)を使い、どんな時にa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を使うのでしょうか？
使い分け方を教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/08/02 18:03

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/02 09:20

f(z)=tan(z)がz=π/2で1位の極を持つから

0<r<π
C={z;|z-π/2|=r}
でtan(z)のローラン展開は
tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
となり
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz
a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
となり
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
となるから
n≧-1の時
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
となるのです

m≧-1の時
res(tan(z)/(z-π/2)^(m+1),π/2)
={1/(m+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(m+1)(z-π/2)tan(z)
だから
n=m+2≧1の時
n-1=m+1だから

n≧1の時
res(tan(z)/(z-π/2)^(n-1),π/2)
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)tan(z)
となるのです

res(tan(z)/(z-π/2)^(n-1),π/2)
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)tan(z)
から
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
を導くのではありません

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
から
res(tan(z)/(z-π/2)^(n-1),π/2)
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)tan(z)
を導くのです

f(z)がz=cでk位の極を持つとき
0<|z-c|<Rで
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n-k)(z-c)^(n-k)
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
となるのです

f(z)=tan(z)がz=π/2で1位の極を持つから
0<|z-π/2|<πで
tan(z)=Σ_{n=0～∞}a(n-1)(z-π/2)^(n-1)
a(n-1)=(1/n!)lim_{z→π/2}(d/dz)^n{tan(z)(z-π/2)}
となるのです
だから
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

f(z)=tan(z)
res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)として
res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)から
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)tan(z)を導けますでしょうか？

お礼日時：2022/08/02 16:59

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/30 11:28

(極の定義)

f(z)とaに対して
lim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)が発散し
lim_{z→a}(z-a)^(k)f(z)が収束する
とき
f(z)はz=aでk位の極を持つというのです

f(z)がz=aでk位の極を持つかどうかは

lim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)が発散するかどうか
lim_{z→a}(z-a)^(k)f(z)が収束するかどうか
を
計算しなければわかりません

n≧-1の時
f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の
場合は
tan(z)=sin(z)/cos(z) の分母がz=π/2の時0になるから
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+1)f(z)=lim_{z→π/2}tan(z)=∞に発散し
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1に収束するから
f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が
z=π/2で(n+2)位の極を持つ
のです

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/30 09:45

違います

式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が極を持てるような時ではありません

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≧-1の時いつでもz=π/2を(n+2位の)極にもつのです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がz=π/2でn+2位の極を持つから

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
が成り立つのです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≦-2の時z=π/2で正則で極を持たないからコーシーの積分定理から
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
の時
積分が
∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=0
になるから

a(n)={1/(2πi)}∫tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=0
a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)=0

a(n)=0
という
a(n)の式が作れるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
今回の式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≧-1の時いつでもz=π/2を(n+2位の)極に持っていましたが、どんな式にも必ず「極」を持ってはいるのでしょうか？

お礼日時：2022/07/30 09:56

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/29 21:41

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①

={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
は間違いです

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
≠
{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②

f(z)がz=aでn位の極をもつならば
res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
が成り立つけれどもそうでなければ間違いです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がz=π/2でn+2位の極を持つから
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
が成り立つのです

①はn位の極の場合
②はn+2位の極の場合
だからnとn+2が等しくなるはずはないのです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はz=π/2でn+2位の極を持つから

lim[z→π/2]tan(z)/(z-π/2)=∞に発散するから

1/(n-1)!lim[z->π/2](d/dz)^(n-1)(z-a)^n tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(n-1)!lim[z->π/2](d/dz)^(n-1){tan(z)/(z-π/2)}
=∞
に発散するからダメ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほど、式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が極を持てるような時の式の時にa(n)の式にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入するとわかりました。

では、res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②以外の式はすべて∞になるわけでしょうか？

また、今回は使った式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は極がありましたが、仮に「極が無い式」などの場合はa(n)の式自体は作れないわけでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/07/30 09:08

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/29 20:46

＞ res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①

＞ ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
＞ について、疑問があるのですが、

ほら、また。
① の n は f(z) が z=a に n 位の極を持つ... の n で、
② の n は f(z) = tan(z)/(z-π/2)^(n+1) という f( ) の定義に含まれる n。
全然違うものを、ひとつの式の中で同じ文字で表したら混乱するのは当然。
f( ) とか a とか n とかが何を表すのか確認しろって No.5 でも書いたんだけど？

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/28 21:02

tan(z)

の
0>|z-π/2|<π
でのローラン展開を
tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
とする
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
とすると

a(n)=1/(2πi)∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
となるから

a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)

n=-1とすれば

a(-1)=res(tan(z),π/2)