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res(f(z),a)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)f(z)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...①

の式に置いて、①の式の中で最も値の高い指数は(n+2)であるため z=π/2の時、(n+2)位の極を持つ、そしてz≠π/2の時は極を持たないと言う認識で正しいでしょうな?

質問者からの補足コメント

  • >> ①の式の中で最も値の高い指数は(n+2)であるため z=π/2の時、(n+2)位の極を持つ

    に関して、仮に違う場合は、なぜ①はz=π/2の時、(n+2)位の極を持つのでしょうか?

      補足日時:2022/07/27 10:10
  • 確認として、お聞きしたいことがあります。

    res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
    は間違った式で。

    正しい式は
    res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)f(z)
    あるいは、
    res(f(z),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}で良いで大丈夫でしょうか?

      補足日時:2022/07/28 02:32
  • 「f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
    の時
    lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1に収束するから

    f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

    z=π/2で(n+2)位の極を持つのです。」
    に関して

    極とは分母が0になるような時を表しますが、

    lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)
    =lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...①
    =lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
    =-1
    として、①よりz=π/2で分母が0になるのは(n+1)位の時だと思うのですが、なぜ(n+2)位なのでしょうか?
    ①の中で最も値が高い指数が(n+2)であるため(n+2)位となるとかでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2022/07/28 03:58
  • ありがとうございます。

    ちなみに、なぜf(z)=tan(z)に関するローラン展開を求めるのにres(f(z),π/2)はres(tan(z),π/2)ではなく、res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)なのでしょうか?

      補足日時:2022/07/28 10:36
  • すいません。

    res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
    ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②

    について、疑問があるのですが、

    なぜ①のn-1やnを+2して、②のようにしてから、f(z)にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入したのでしょうか?

    要は、なぜres(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ではダメなのでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2022/07/29 03:19
  • ありがとうございます。

    ちなみに、
    f(z)=tan(z)
    の時
    res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)としても
    ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)と正しい式が導けるのはなぜでしょうか?

    また、
    f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n-1)
    a=π/2
    の時
    res(f(z),a)
    =1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
    としても、正しい式{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)が導けるのはなぜでしょうか?

    最後に画像の式の時は、k=1として、
    {1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)と導けるのでしょうか?

    「res(f(z),a) =res(tan」の補足画像6
      補足日時:2022/08/02 04:12

A 回答 (16件中11~16件)

f(z)がz=aでn位の極を持つならば


res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は正しいけれども
そうでなければ間違いです

res(f(z),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}
は間違った式で

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の時
res(f(z),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)^(n+2)f(z)}
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
が正しい

f(z)=tan(z)
の時
res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
が正しい

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n-1)
a=π/2
の時
res(f(z),a)
=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)^ntan(z)/(z-π/2)^(n-1)
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)tan(z)
が正しい
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
から
※g(z)=tan(z)/(z-π/2)と置くて、

lim[z->a](d/dz)(z-π/2)^2g(z)を導く事は出来ないでしょうか?

お礼日時:2022/07/28 23:04

> なぜf(z)=tan(z)に関するローラン展開を求めるのに


> res(f(z),π/2)はres(tan(z),π/2)ではなく、
> res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)なのでしょうか?

知らんがな。
普通、ローラン展開を求めるのに、そんなやり方はしない。
以前から、 f(z) は何かとか a は何かとか n は何かとか
混乱しているようだけど、結局何をしようとしている?
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> ①よりz=π/2で分母が0になるのは(n+1)位の時だと思うのですが、


> なぜ(n+2)位なのでしょうか?
> ①の中で最も値が高い指数が(n+2)であるため(n+2)位となるとかでしょうか?

だ、か、ら、① の式で極の位数が決まるんじゃなく、
極の位数が判ると ① の式が立てられるんだと言っているでしょう!

「極とは分母が0になるような時を表しますが」とか言ってるから間違えるんですよ。
極 c の位数は、 lim[x→c] (x - c)^m f(z) が有限になる最小の m です。
まあ、比喩表現としては「分母が0」でも当たらずとも遠からずなんだけど、
そういう言い回しで理解したいのなら、同時に
tan(z) の分母にも (z - π/2) があることを解っていないとね。
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この回答へのお礼

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
として、

lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+1)f(z)
=lim_{z→π/2}tan(z) とした際に分母cos(π/2)は0に近づくが∞に発散する。

lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)
=lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)sin(π/2)/cos(π/2)
とした際に分母cos(π/2)は0に近づき、なおかつ-1に収束するため、

z=π/2で、式「lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)」は(n+2)位の極を持つとわかった。

そして、π/2を含む(z-π/2)は(z-π/2)^(n+2)として、
res(f(z),a)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)f(z)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
と作れるわけですね。

正しいでしょうか?

お礼日時:2022/07/28 10:26

(極の定義)


f(z)とaに対して
lim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)が発散し
lim_{z→a}{(z-a)^k}f(z)が収束する
とき
f(z)はz=aでk位の極を持つという
(極の定義)から

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の時
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+1)f(z)=lim_{z→π/2}tan(z)=∞に発散し
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1に収束するから

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

z=π/2で(n+2)位の極を持つ
のです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、確認として、お聞きしたいことがあります。

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は間違った式で。

正しい式は
res(f(z),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}で良いでしょうか?

また、
他の回答者様から
「res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-  π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
ともらったのですが、正しいのでしょうか?
仮に正しい場合はなぜn-1項を+2してからf(z)にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入したのでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/07/28 06:08

これ、まだやってるの? もう何回目の質問だろう。


これだけの回数質問して、多くの回答を得て、その結果
何ひとつ進歩したように見えないのは、ある意味スゴイとは思う。

> ①の式の中で最も値の高い指数は(n+2)であるため
> z=π/2の時、(n+2)位の極を持つ

話の方向が全く逆方向。
①の式がどうなっているから f(z) は z = π/2 に n+2 位の極を持つ
とか持たないとかではなくて、
f(z) が z = π/2 に n+2 位の極を持つから Res[f(z),π/2] が ① の式で表される。

さすがに、そろそろ Res[ , ] の定義は理解したんだろうね?
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違います



f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の時
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+1)f(z)=lim_{z→π/2}tan(z)=∞に発散し
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1に収束するから

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

z=π/2で(n+2)位の極を持つのです

①が極を持つのではありません

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

z=π/2で(n+2)位の極を持つから

a=π/2
の時

res(f(z),a)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)f(z)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

となるのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
今更で申し訳ないのですが、f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

z=π/2の時(n+2)位に極を持つとなぜわかったのでしょうか?

お礼日時:2022/07/27 22:17

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