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f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1)すべのxについてf(x)>0を示せ。
(2)g(x)=0はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
これで、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう
と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。
よろしくおねがいします。

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A 回答 (3件)

>、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう


>と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。

g(x)=xf(x)+1/120 とおけるので、

(1)の結果
【1】f'(x)は単調増加
【2】f(x)はただ一つの極小値f(p)をもつ。
【3】すべてのxについて f(x)>0
を利用して、

g'(x)=f(x)+xf'(x) より
f(x)=g'(x)-xf'(x)>0 (【3】より)
これから、
g'(x)>xf'(x)>xf'(p)>-f'(p)
∴g'(x)>0
g(x)は単調増加。
g(0)=1/120>0,  g(-1)=-11/6<0
したがって、
∃α (-1<α<0) [ g(α)=0 ]

こんな風に利用できないですか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ポイントはg'(x)が増加関数を示すことに合ったんですね、
そのとき、(1)をご指摘のように利用することがわかりました。
xf'(x)>xf'(p)>-f'(p)
の部分がよくわかりませんでした。

お礼日時:2010/09/06 15:07

f(x) > 0 は結構難しいと思います(結果を見ると簡単に見えますが)。

f ' (x) の因数分解も面倒です。
   f(x) = x^4 + x^3 + (1/2)*x^2 + (1/6)*x + 1/24 = x^2*( x + 1/2 )^2 + ( x/2 + 1/6 )^2 + 1/72 > 0
   f ' (x) = 4*x^3 + 3*x^2 + x + 1/6 = 4*( x - A )*{ ( x - B )^2 + C }
       A = ( √3/18 - 1/12 )*s^2 - s/12 - 1/4 = -0.3808・・
       B = - { ( √3/18 - 1/12 )*s^2 - s/12 + 1/2 }/2 = -0.1845・・
       C = s^2/192 + ( √3/96 - 1/64 )*s + 1/32 = 0.0753・・ > 0
       s = ( 9 + 6*√3 )^(1/3) = 2.686・・
より
   x < A のとき f ' (x) < 0
   x = A のとき f ' (x) = 0
   x > A のとき f ' (x) > 0
したがって f (x) はただ1つの極小点 f(A) を持つ
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
私は、直接fをf'でわりました。

お礼日時:2010/09/07 09:52

(1)はどうやって解いたんでしょうか。



(2)は、
g’(x)>0が示すことができれば、単調増加関数で実数解は1つしかないことになります。
(1)と同じ方法でできないですか?


きれいな解答じゃありませんが、
f(x)=(Ax^2+Bx+C)^2+(Dx+E)^2+F  (F>0)
の形にするという方法もあります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。(1)については、
f'(x)は増加関数で、x軸との交点が1点で、この前後で
f(x)は減少から増加する。この点つまり、極値が、0以上を
示しました。
(2)については、式の形から(1)を利用するのだと思い、
その利用の仕方をいろいろ考えてしまいました。

お礼日時:2010/09/06 14:57

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