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f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1)すべのxについてf(x)>0を示せ。
(2)g(x)=0はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
これで、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう
と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。
よろしくおねがいします。

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A 回答 (3件)

>、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう


>と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。

g(x)=xf(x)+1/120 とおけるので、

(1)の結果
【1】f'(x)は単調増加
【2】f(x)はただ一つの極小値f(p)をもつ。
【3】すべてのxについて f(x)>0
を利用して、

g'(x)=f(x)+xf'(x) より
f(x)=g'(x)-xf'(x)>0 (【3】より)
これから、
g'(x)>xf'(x)>xf'(p)>-f'(p)
∴g'(x)>0
g(x)は単調増加。
g(0)=1/120>0,  g(-1)=-11/6<0
したがって、
∃α (-1<α<0) [ g(α)=0 ]

こんな風に利用できないですか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ポイントはg'(x)が増加関数を示すことに合ったんですね、
そのとき、(1)をご指摘のように利用することがわかりました。
xf'(x)>xf'(p)>-f'(p)
の部分がよくわかりませんでした。

お礼日時:2010/09/06 15:07

f(x) > 0 は結構難しいと思います(結果を見ると簡単に見えますが)。

f ' (x) の因数分解も面倒です。
   f(x) = x^4 + x^3 + (1/2)*x^2 + (1/6)*x + 1/24 = x^2*( x + 1/2 )^2 + ( x/2 + 1/6 )^2 + 1/72 > 0
   f ' (x) = 4*x^3 + 3*x^2 + x + 1/6 = 4*( x - A )*{ ( x - B )^2 + C }
       A = ( √3/18 - 1/12 )*s^2 - s/12 - 1/4 = -0.3808・・
       B = - { ( √3/18 - 1/12 )*s^2 - s/12 + 1/2 }/2 = -0.1845・・
       C = s^2/192 + ( √3/96 - 1/64 )*s + 1/32 = 0.0753・・ > 0
       s = ( 9 + 6*√3 )^(1/3) = 2.686・・
より
   x < A のとき f ' (x) < 0
   x = A のとき f ' (x) = 0
   x > A のとき f ' (x) > 0
したがって f (x) はただ1つの極小点 f(A) を持つ
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
私は、直接fをf'でわりました。

お礼日時:2010/09/07 09:52

(1)はどうやって解いたんでしょうか。



(2)は、
g’(x)>0が示すことができれば、単調増加関数で実数解は1つしかないことになります。
(1)と同じ方法でできないですか?


きれいな解答じゃありませんが、
f(x)=(Ax^2+Bx+C)^2+(Dx+E)^2+F  (F>0)
の形にするという方法もあります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。(1)については、
f'(x)は増加関数で、x軸との交点が1点で、この前後で
f(x)は減少から増加する。この点つまり、極値が、0以上を
示しました。
(2)については、式の形から(1)を利用するのだと思い、
その利用の仕方をいろいろ考えてしまいました。

お礼日時:2010/09/06 14:57

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Qf(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24 の利用

f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1)すべのxについてf(x)>0を示せ。
(2)g(x)=0はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
この問題一応解けたのですがあまり腑に落ちません。そこで他に良い解き方がないか教えて下さい!自分の大まかな解法は以下の通りです。
(1)f´(x)=4x^3+3x^2+x+1/6
=x(4x^2+3x+1)+1/6
=4x{(x+3/8)^2+7/64}+1/6
今{}内が正であることからf´(x)=0の解は一つでありそれをx=bと置く。ここで0>b>-1 ……①
またf´(x)は単調増加。
ゆえに示すべき事はf(b)>0と同値である。
f´(b)=0の式からf(b)を次数下げしていく。
(省略)
f(b)=-3/4b{(b-1/3)^2+1/18}
①よりこれは0より大きい。
(2)g(x)=xf(x)+1/120
g´(x)=f(x)+xf´(x)
f(x)=g´(x)-xf´(x)>f(b)>0
g´(x)>xf´(x)+f(b)
b≧x,x≧0ではxf´(x)≧0よりg´(x)>0
0≧x≧bについて考える。この区間でf´(x)は単調増加、またxは0以下,f´(x)は0以上だから
xf´(x)≧b×f´(0)
よってg´(x)>bf´(x)+f(b) ……②
ここで②の右辺について(1)のように次数下げ。
(省略)
(②の右辺)=-3/4b{(b+1/3)^2-1/9}
b<0よりこれは正。
よってg´(x)>0だからg(x)は単調増加。
(以下省略)

f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1)すべのxについてf(x)>0を示せ。
(2)g(x)=0はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
この問題一応解けたのですがあまり腑に落ちません。そこで他に良い解き方がないか教えて下さい!自分の大まかな解法は以下の通りです。
(1)f´(x)=4x^3+3x^2+x+1/6
=x(4x^2+3x+1)+1/6
=4x{(x+3/8)^2+7/64}+1/6
今{}内が正であることからf´(x)=0の解は一つでありそれをx=bと置く。ここで0>b>-...続きを読む

Aベストアンサー

NO.1さんの解答は計算ミスしてますね。でもそれと同じように(2)も解けますよ。おまり面白くはないけど。
(1)
f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
=(x^2+x/2)^2+(1/4)x^2+(1/6)x+1/24
=(x^2+x/2)^2+(1/4)(x+1/3)^2-1/36+1/24
=(x^2+x/2)^2+(1/4)(x+1/3)^2+1/72>0

(2)g(x)が単調増加であることを示し、g(-1)<0かつg(0)>0であることを言えば良い。
g'(x)=5x^4+4x^3+(3/2)x^2+(1/3)x+1/24
=5(x^2+2x/5)^2-(4/5)x^2+(3/2)x^2+(1/3)x+1/24
=5(x^2+2x/5)^2+(7/10)x^2+(1/3)x+1/24
=5(x^2+2x/5)^2+(7/10)(x+(5/21))^2-5/(2・3^2・7)+1/(2^3・3)
=5(x^2+2x/5)^2+(7/10)(x+(5/21))^2-20/(2^3・3^2・7)+21/(2^3・3^2・7)
=5(x^2+2x/5)^2+(7/10)(x+(5/21))^2+1/(2^3・3^2・7)>0
よってg(x)は単調増加。

また、
g(-1)=-1+1-1/2+1/6-1/24+1/120
=-1/3-1/30<0
g(0)=1/120
なので、中間値の定理より証明された。

NO.1さんの解答は計算ミスしてますね。でもそれと同じように(2)も解けますよ。おまり面白くはないけど。
(1)
f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
=(x^2+x/2)^2+(1/4)x^2+(1/6)x+1/24
=(x^2+x/2)^2+(1/4)(x+1/3)^2-1/36+1/24
=(x^2+x/2)^2+(1/4)(x+1/3)^2+1/72>0

(2)g(x)が単調増加であることを示し、g(-1)<0かつg(0)>0であることを言えば良い。
g'(x)=5x^4+4x^3+(3/2)x^2+(1/3)x+1/24
=5(x^2+2x/5)^2-(4/5)x^2+(3/2)x^2+(1/3)x+1/24
=5(x^2+2x/5)^2+(7/10)x^2+(1/3)x+1/24
=5(x^2+2x/5)^2+(7/10)(x+(5/21))^2-5/(...続きを読む

Q方程式の解について

f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1) すべての実数xについて、f(x)>0を示せ。
 これは式を変形することで分かりました。
(2) g(x)=0 はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
 (1)を利用すると思うが、利用の仕方が分かりません。
 しかたないので、微分してグラフで考えようとしましたが、
 3回微分してg'''(x)>0、だからg''(x)は単調増加で-1と0の間でx軸と交わる
 この解をβとして、・・・・・とやりましたが挫折、たぶんこれは本質の解法
 ではないと感じました。それでやっぱり、(1)を利用するのだろうが、見当が
 つきません。よろしくお願いします。

 

Aベストアンサー

では:

x=0は明らかにg(x)=0を満たさないので、y=1/xとする。
この時x=1/y
よって、
g(x)=(1/y)^5+(1/y)^4+(1/2)*(1/y)^3+(1/6)(1/y)^2+(1/24)(1/y)+1/120
(y^5)g(1/y)=(1/120)(y^5)+(1/24)y^4+(1/6)y^3+(1/2)y^2+y+1
であって、これをh(y)とおけば,
h'(y)=(1/24)y^4+(1/6)y^3+(1/2)y^2+y+1
=(1/24)(1/x)^4 + (1/6)(1/x)^3 + (1/2)(1/x)^2 +(1/x)+1
(x^4)h'(y)=f(x) > 0 ( (1)より )であるから、h(y)>0
よって、h(y)は単調増加、h(-1)=(1/2-1/6)+(1/24-1/120)>0,
h(-120)=-(120^4-5*120^3)-(20*120^2-60*120)-(120-1)<0より、
h(y)は[-120,-1]の間にただ一つ解を持つ。
よって、f(x)は[-1, -1/120]の間にただ一つ解を持つ。

では:

x=0は明らかにg(x)=0を満たさないので、y=1/xとする。
この時x=1/y
よって、
g(x)=(1/y)^5+(1/y)^4+(1/2)*(1/y)^3+(1/6)(1/y)^2+(1/24)(1/y)+1/120
(y^5)g(1/y)=(1/120)(y^5)+(1/24)y^4+(1/6)y^3+(1/2)y^2+y+1
であって、これをh(y)とおけば,
h'(y)=(1/24)y^4+(1/6)y^3+(1/2)y^2+y+1
=(1/24)(1/x)^4 + (1/6)(1/x)^3 + (1/2)(1/x)^2 +(1/x)+1
(x^4)h'(y)=f(x) > 0 ( (1)より )であるから、h(y)>0
よって、h(y)は単調増加、h(-1)=(1/2-1/6)+(1/24-1/120)>0,
h(-120)=-(120^4-5*120^3)-(20*120^2-60*120)-(12...続きを読む


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