位相の問題です。

位相の問題です。

(X,Q)、(X,Q'):位相空間
X×Y={(x,y)｜x∈X,y∈Y}

Qx×y:=U×V{U∈Q,V∈Q'の形の任意個のX×Yの部分集合の和集合}

ここで
(X×Y,Qx×y):位相空間になることを示せ。


わかる方いましたらよろしくお願いいたします
<(_ _)>

No.2 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/09/14 03:49

1)

X∈Q,Y∈Q'→X×Y∈Qx×y
φ∈Q,φ∈Q'→φ×φ=φ∈Qx×y
2)
{∪_{λ∈Λ_1}(U1_λ×V1_λ),∪_{μ∈Λ_2}(U2_μ×V2_μ)}⊂Qx×y　とすると
U1_λ∩U2_μ∈Q , V1_λ∩V2_μ∈Q'だから
∪_{λ∈Λ_1}(U1_λ×V1_λ)∩∪_{μ∈Λ_2}(U2_μ×V2_μ)
=∪_{λ∈Λ_1,μ∈Λ_2}{(U1_λ∩U2_μ)×(V1_λ∩V2_μ)}∈Qx×y
3)
{∪_{μ∈Λ_2}(U_{λ,μ}×V_{λ,μ})}_{λ∈Λ_1}⊂Qx×y　とすると
∪_{λ∈Λ_1,μ∈Λ_2}(U_{λ,μ}×V_{λ,μ})∈Qx×y

(X×Y,Qx×y)は位相空間になる

この回答へのお礼

遅れてすいません

丁寧なご回答ありがとうございました<(_ _)>

お礼日時：2010/09/20 21:09

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/09/13 22:41

問題にタイプミスはあるし，

記号は読みにくいし・・・・

答えは簡単だけども，直積位相の定義くらい
あなたの学校の図書室にある位相空間論の教科書に
でてないのですか？
これは直積位相の中でも
きわめて簡略化されている二個の場合にすぎません．
位相の定義に従って
すなおに要件をチェックするだけです．